与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ (2) $f(x) = \frac{2x+3}{3-4x}$ (3) $f(x) = \log(1 + \log(1 + \log x))$ (4) $f(x) = \arctan(1 + \tan x)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

(2) $f(x) = \frac{2x+3}{3-4x}$

(3) $f(x) = \log(1 + \log(1 + \log x))$

(4) $f(x) = \arctan(1 + \tan x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{3} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ の導関数を求める。

まず、$f(x)$を次のように書き換えます。

$f(x) = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-\frac{1}{2}}$

次に、それぞれの項を微分します。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx} (3x^{-\frac{1}{2}}) = 3 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、$f'(x) = \frac{1}{6}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{6\sqrt{x}} - \frac{3}{2x\sqrt{x}} = \frac{x - 9}{6x\sqrt{x}}$

(2) $f(x) = \frac{2x+3}{3-4x}$ の導関数を求める。

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = 2x+3$, $v = 3-4x$ とすると、$u' = 2$, $v' = -4$

$f'(x) = \frac{2(3-4x) - (2x+3)(-4)}{(3-4x)^2} = \frac{6-8x + 8x+12}{(3-4x)^2} = \frac{18}{(3-4x)^2}$

(3) $f(x) = \log(1 + \log(1 + \log x))$ の導関数を求める。

合成関数の微分を繰り返し使います。

$f'(x) = \frac{1}{1+\log(1+\log x)} \cdot \frac{d}{dx}(1+\log(1+\log x))$

$= \frac{1}{1+\log(1+\log x)} \cdot \frac{1}{1+\log x} \cdot \frac{d}{dx}(1+\log x)$

$= \frac{1}{1+\log(1+\log x)} \cdot \frac{1}{1+\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$= \frac{1}{x(1+\log x)(1+\log(1+\log x))}$

(4) $f(x) = \arctan(1 + \tan x)$ の導関数を求める。

$\frac{d}{dx} \arctan(u) = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$u = 1 + \tan x$ なので $\frac{du}{dx} = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

$f'(x) = \frac{1}{1 + (1+\tan x)^2} \cdot \sec^2 x = \frac{1}{1 + (1+\tan x)^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$= \frac{1}{\cos^2 x(1 + 1 + 2\tan x + \tan^2 x)} = \frac{1}{\cos^2 x(2 + 2\tan x + \tan^2 x)}$

$= \frac{1}{2\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x}$

$= \frac{1}{\cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x} = \frac{1}{1 + \cos^2 x + 2\sin x \cos x} = \frac{1}{1+\cos^2 x + \sin 2x}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{x - 9}{6x\sqrt{x}}$

(2) $f'(x) = \frac{18}{(3-4x)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{1}{x(1+\log x)(1+\log(1+\log x))}$

(4) $f'(x) = \frac{1}{1+\cos^2 x + \sin 2x}$