$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\sin(3x)}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\sin(3x)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(2x)$ および $\sin(3x)$ は $x \to 0$ で $0$ に近づくので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。

そこで、$\sin^{-1}u \approx u$ ($u \to 0$) と $\sin u \approx u$ ($u \to 0$) を利用します。

まず、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)}$ と変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{2x} = 1$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}} = \frac{1}{1} = 1$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ が成り立ちます。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\sin(3x)} = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$ となります。

または、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(2x)}{\sin(3x)}$ に対してロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x)}{\frac{d}{dx} \sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}}{3\cos(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3\cos(3x)\sqrt{1-4x^2}} = \frac{2}{3 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$