問題1: 実数 $\alpha$ に対して、極限 $\lim_{x \to +0} x^{\alpha}$ を$\alpha$の値で分類せよ。 問題2: 実数 $\alpha$ に対して、広義積分 $\int_0^1 x^{\alpha} dx$ が存在するための$\alpha$の条件を求め、その時の広義積分を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題1: 実数 $\alpha$ に対して、極限 $\lim_{x \to +0} x^{\alpha}$ を$\alpha$の値で分類せよ。

問題2: 実数 $\alpha$ に対して、広義積分 $\int_0^1 x^{\alpha} dx$ が存在するための$\alpha$の条件を求め、その時の広義積分を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：$\lim_{x \to +0} x^{\alpha}$ の場合

* $\alpha > 0$ のとき：$\lim_{x \to +0} x^{\alpha} = 0$

* $\alpha = 0$ のとき：$\lim_{x \to +0} x^{\alpha} = \lim_{x \to +0} 1 = 1$

* $\alpha < 0$ のとき：$\lim_{x \to +0} x^{\alpha} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{x^{-\alpha}} = \infty$ (発散)

問題2：$\int_0^1 x^{\alpha} dx$ の場合

広義積分なので、$\epsilon > 0$ を用いて次のように考える。

$\int_0^1 x^{\alpha} dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{\epsilon}^1 x^{\alpha} dx$

* $\alpha \neq -1$ のとき

$\int_{\epsilon}^1 x^{\alpha} dx = \left[ \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right]_{\epsilon}^1 = \frac{1}{\alpha + 1} - \frac{\epsilon^{\alpha + 1}}{\alpha + 1}$

$\lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1}{\alpha + 1} - \frac{\epsilon^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right)$ が収束するためには、$\alpha + 1 > 0$ つまり $\alpha > -1$ が必要。このとき、

$\lim_{\epsilon \to +0} \left( \frac{1}{\alpha + 1} - \frac{\epsilon^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right) = \frac{1}{\alpha + 1}$

* $\alpha = -1$ のとき

$\int_{\epsilon}^1 x^{-1} dx = \int_{\epsilon}^1 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln x \right]_{\epsilon}^1 = \ln 1 - \ln \epsilon = -\ln \epsilon$

$\lim_{\epsilon \to +0} (-\ln \epsilon) = \infty$ (発散)

したがって、広義積分 $\int_0^1 x^{\alpha} dx$ が存在するための条件は $\alpha > -1$ であり、その時の広義積分は $\frac{1}{\alpha + 1}$ である。

3. 最終的な答え

問題1:

* $\alpha > 0$ のとき：0

* $\alpha = 0$ のとき：1

* $\alpha < 0$ のとき：発散

問題2:

$\alpha > -1$ のとき存在し、広義積分は $\frac{1}{\alpha + 1}$