曲線 $C$ を $f(x) = |x^2 - 4x| + x - 4$ とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフを描く。 (2) 曲線 $C$ の $x=1$ における接線 $l$ の式を求める。 (3) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

曲線 $C$ を $f(x) = |x^2 - 4x| + x - 4$ とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフを描く。

(2) 曲線 $C$ の $x=1$ における接線 $l$ の式を求める。

(3) 曲線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描く

まず、$|x^2 - 4x|$ の絶対値を外すことを考える。

$x^2 - 4x = x(x-4)$ なので、$x \le 0$ または $x \ge 4$ のとき、$x^2 - 4x \ge 0$ であり、 $0 < x < 4$ のとき、$x^2 - 4x < 0$ である。

したがって、

$f(x) =

\begin{cases}

x^2 - 4x + x - 4 = x^2 - 3x - 4 & (x \le 0 \text{ or } x \ge 4) \\

-(x^2 - 4x) + x - 4 = -x^2 + 5x - 4 & (0 < x < 4)

\end{cases}

$$

それぞれの区間で平方完成を行う。

$x^2 - 3x - 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

$-x^2 + 5x - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

これにより、$y = f(x)$ のグラフを描くことができる。

(2) 接線 $l$ の式を求める

$x = 1$ のとき、$0 < x < 4$ なので、$f(x) = -x^2 + 5x - 4$ を用いる。

$f(1) = -1 + 5 - 4 = 0$

$f'(x) = -2x + 5$

$f'(1) = -2(1) + 5 = 3$

したがって、接線 $l$ の方程式は、$y - 0 = 3(x - 1)$ より、$y = 3x - 3$

(3) 面積 $S$ を求める

$f(x) = x^2-3x-4$と$l$の交点を求める．

$x^2-3x-4 = 3x-3$

$x^2-6x-1 = 0$

$x=3 \pm \sqrt{10}$

$f(x) = -x^2+5x-4$と$l$の交点を求める．

$-x^2+5x-4 = 3x-3$

$x^2-2x+1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x=1$

求める面積は

$S = \int_{0}^{1} \{3x-3-(-x^2+5x-4) \} dx + \int_{1}^{4} \{3x-3-(x^2-3x-4) \} dx$

$= \int_{0}^{1} (x^2-2x+1) dx + \int_{1}^{4} (-x^2+6x+1) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3-x^2+x]_0^1 + [-\frac{1}{3}x^3+3x^2+x]_1^4$

$= (\frac{1}{3}-1+1) + (-\frac{64}{3}+48+4)- (-\frac{1}{3}+3+1)$

$= \frac{1}{3} + (-\frac{64}{3}+52) - (-\frac{1}{3}+4)$

$= \frac{1}{3} - \frac{64}{3} + 52 + \frac{1}{3} - 4 = -\frac{62}{3}+48= \frac{82}{3}$

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照

(2) $y = 3x - 3$

(3) $S = \frac{82}{3}$