与えられた式 $\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) = 2\cos\theta \cos(k\theta)$ が成り立つことを示す途中式を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) = 2\cos\theta \cos(k\theta)$ が成り立つことを示す途中式を求める問題です。

2. 解き方の手順

左辺を和積の公式を用いて変形します。和積の公式は以下の通りです。

$\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$

$A = (k+1)\theta$、 $B = (k-1)\theta$ とすると、

$\frac{A+B}{2} = \frac{(k+1)\theta + (k-1)\theta}{2} = \frac{2k\theta}{2} = k\theta$

$\frac{A-B}{2} = \frac{(k+1)\theta - (k-1)\theta}{2} = \frac{2\theta}{2} = \theta$

したがって、

$\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) = 2 \cos(k\theta) \cos(\theta) = 2 \cos\theta \cos(k\theta)$

となり、右辺と一致することが示されました。

3. 最終的な答え

$\cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) = 2 \cos \left(\frac{(k+1)\theta + (k-1)\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{(k+1)\theta - (k-1)\theta}{2}\right) = 2\cos(k\theta)\cos(\theta) = 2\cos\theta\cos(k\theta)$