与えられた6つの関数をそれぞれ微分する。 (1) $y = e^{2x}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = 10^x$ (4) $y = \log(2x+1)$ (5) $y = \log\sqrt{x+1}$ (6) $y = \log\frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する。

(1) $y = e^{2x}$

(2) $y = e^{x^2}$

(3) $y = 10^x$

(4) $y = \log(2x+1)$

(5) $y = \log\sqrt{x+1}$

(6) $y = \log\frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{2x}$

合成関数の微分を用いる。$u = 2x$とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$

(2) $y = e^{x^2}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2$とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = 10^x$

$a^x$の微分公式を使う。$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$。

$\frac{dy}{dx} = 10^x \log 10$

(4) $y = \log(2x+1)$

合成関数の微分を用いる。$u = 2x+1$とすると、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

(5) $y = \log\sqrt{x+1}$

$\sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}$であるから、$y = \log(x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log(x+1)$

$u = x+1$とすると、$y = \frac{1}{2}\log u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{u} \cdot 1 = \frac{1}{2(x+1)}$

(6) $y = \log\frac{1}{x}$

$y = \log(x^{-1}) = -\log x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2xe^{x^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 10^x \log 10$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2x+1}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x+1)}$

(6) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x}$