問題は、与えられた3つの等式が成り立つかどうかを判断し、成り立たない場合は右辺を修正して正しい等式にすることです。ただし、虚数単位 $i$ を用いてはなりません。

1. 問題の内容

問題は、与えられた3つの等式が成り立つかどうかを判断し、成り立たない場合は右辺を修正して正しい等式にすることです。ただし、虚数単位 $i$ を用いてはなりません。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{15}$

$\sqrt{-3} = \sqrt{3}i$ , $\sqrt{-5} = \sqrt{5}i$ であるため、

$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{3}i \cdot \sqrt{5}i = \sqrt{15}i^2 = -\sqrt{15}$

したがって、$\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$ となります。

元の等式は $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = \sqrt{15}$ なので成り立ちません。

(2) $\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$

$\sqrt{-7} = \sqrt{7}i$ であるため、

$\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{2}\sqrt{7}i = \sqrt{14}i = \sqrt{-14}$

したがって、$\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$ となります。

元の等式は $\sqrt{2}\sqrt{-7} = \sqrt{-14}$ なので成り立ちます。

(3) $\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{1}{-3}}$

$\frac{1}{\sqrt{-3}} = \frac{1}{\sqrt{3}i} = \frac{1}{\sqrt{3}i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{\sqrt{3}i^2} = \frac{i}{-\sqrt{3}} = -\frac{i}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\frac{1}{3}}i = -\sqrt{-\frac{1}{3}}$

一方で、$\sqrt{\frac{1}{-3}} = \sqrt{-\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}i$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{-\frac{1}{3}}$ なので、$\frac{1}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{\frac{1}{3}}i$となります。

元の等式は $\frac{1}{\sqrt{-3}} = \sqrt{\frac{1}{-3}}$ なので成り立ちません。$\frac{1}{\sqrt{-3}} = - \sqrt{- \frac{1}{3}}$が正しい等式です。

3. 最終的な答え

(1) 成り立たない, $\sqrt{-3}\sqrt{-5} = -\sqrt{15}$

(2) 成り立つ

(3) 成り立たない, $\frac{1}{\sqrt{-3}} = - \sqrt{- \frac{1}{3}}$