与えられた問題は、逆三角関数の値を求める問題、逆三角関数の関係式を証明する問題、そして逆三角関数の導関数を求める問題、与えられた関数の微分を求める問題の4つです。 具体的には、以下の問題です。 1. 逆三角関数の値を求める： (1) $sin^{-1}0$ (2) $sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

1. 問題の内容

与えられた問題は、逆三角関数の値を求める問題、逆三角関数の関係式を証明する問題、そして逆三角関数の導関数を求める問題、与えられた関数の微分を求める問題の4つです。

具体的には、以下の問題です。

1. 逆三角関数の値を求める：

(1) $sin^{-1}0$

(2) $sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

2. $x > 0$ のとき、$tan^{-1}x + tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ を証明する。

3. $cos^{-1}x$, $tan^{-1}x$ の導関数を求める。

4. 以下の関数を微分する：

(1) $y = sin2x$

(2) $y = sin^2x$

(3) $y = cos\sqrt{x}$

2. 解き方の手順

1. 逆三角関数の値を求める：

(1) $sin^{-1}0$：$sin(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求める。 $sin(0) = 0$ なので、$sin^{-1}0 = 0$

(2) $sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$：$sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を求める。 $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$

(3) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$：$cos(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。 $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ なので、$cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$

2. $x > 0$ のとき、$tan^{-1}x + tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ を証明する。

$y = tan^{-1}x$ とすると、$tan(y) = x$。

また、$tan^{-1}\frac{1}{x} = tan^{-1}\frac{1}{tan(y)} = tan^{-1}(cot(y)) = tan^{-1}(tan(\frac{\pi}{2} - y))$。

したがって、$tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{2} - tan^{-1}x$。

よって、$tan^{-1}x + tan^{-1}\frac{1}{x} = tan^{-1}x + \frac{\pi}{2} - tan^{-1}x = \frac{\pi}{2}$

3. $cos^{-1}x$, $tan^{-1}x$ の導関数を求める。

$y = cos^{-1}x$ とすると、$x = cos(y)$。両辺を $x$ で微分すると、$1 = -sin(y)\frac{dy}{dx}$。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{sin(y)} = -\frac{1}{\sqrt{1-cos^2(y)}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

よって、$\frac{d}{dx}cos^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

$y = tan^{-1}x$ とすると、$x = tan(y)$。両辺を $x$ で微分すると、$1 = sec^2(y)\frac{dy}{dx}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{sec^2(y)} = \frac{1}{1+tan^2(y)} = \frac{1}{1+x^2}$。

よって、$\frac{d}{dx}tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$。

4. 以下の関数を微分する：

(1) $y = sin2x$

$\frac{dy}{dx} = cos2x \cdot 2 = 2cos2x$

(2) $y = sin^2x$

$\frac{dy}{dx} = 2sinx \cdot cosx = sin2x$

(3) $y = cos\sqrt{x}$

$\frac{dy}{dx} = -sin\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

1. (1) $0$, (2) $\frac{\pi}{4}$, (3) $\frac{2\pi}{3}$

2. 証明完了

3. $\frac{d}{dx}cos^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\frac{d}{dx}tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}$

4. (1) $2cos2x$, (2) $sin2x$, (3) $-\frac{sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$