点Oは三角形ABCの外心である。角xと角yの大きさを求めよ。三角形ABCにおいて、角AOB = x、角AOC = y、角BAC = 35°、角ABC = 25°と与えられている。

1. 問題の内容

点Oは三角形ABCの外心である。角xと角yの大きさを求めよ。三角形ABCにおいて、角AOB = x、角AOC = y、角BAC = 35°、角ABC = 25°と与えられている。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点であり、三角形ABCの外接円の中心である。

外心は各辺の垂直二等分線の交点である。

三角形ABCの角BAC、角ABCが与えられているので、角ACBを求める。

三角形の内角の和は180°なので、

$角ACB = 180° - 角BAC - 角ABC = 180° - 35° - 25° = 120°$

したがって、角ACBは120°である。

外接円の中心角は円周角の2倍であるという性質を利用する。

角AOBは円周角角ACBに対する中心角なので、

$角AOB = x = 2 * 角ACB = 2 * 120° = 240°$

これはありえないので、間違いである。

外心Oから各頂点A, B, Cに線を引くと、OA=OB=OCとなる。

したがって、三角形OAB、三角形OBC、三角形OCAは二等辺三角形である。

三角形OABにおいて、OA=OBなので、角OAB = 角OBA = 35°。したがって、角AOB = 180° - 2 * 35° = 180° - 70° = 110°

三角形OBCにおいて、OB=OCなので、角OBC = 角OCB = 25°。したがって、角BOC = 180° - 2 * 25° = 180° - 50° = 130°

三角形OCAにおいて、OC=OAなので、角OCA = 角OAC。

三角形ABCの内角の和は180°なので、角BAC + 角ABC + 角ACB = 180°

35° + 25° + 角ACB = 180°

角ACB = 180° - 35° - 25° = 120°

角OCA = 角ACB - 角OCB = 120° - 25° = 95°

三角形OCAにおいて、角OAC = 角OCA = 95°。したがって、角AOC = y = 180° - 2 * 95° = 180° - 190° = -10°

これも間違いである。

点Oは三角形の外心であるから、

$角OAB = 角OBA$

$角OBC = 角OCB$

$角OCA = 角OAC$

$角OAB = 角OAC = 35°$

$角OBC = 25°$

$角OAC = 35°$

$角ABC = 角OBA + 角OBC = 25°$

$角BAC = 角OAB + 角OAC = 35°$

角ACB = 角OCA + 角OCB

$角OBA = 25°$

$角OAB = x$

$角OBC = y$

よって、角OBA = 角OAB

角BAC = 35°

角ABC = 25°

$角ACB = 180° - (35° + 25°) = 120°$

$角OBC = 角OCB$

$角OCB = 90° - 35° = 55°$

$角OCA = 90° - 25° = 65°$

$角OBC = 180° - 2(25) = 180 - 50 = 130°$

$角AOC = 2 * 角ABC = 2 * 25 = 50°$

$x = 2 * 角A = 70°$

$y = 2 * 角B = 50°$

角OBA = 角OAB = α

角OBC = 角OCB = β

角OCA = 角OAC = γ

$α+β = 25°$

$β+γ = C$

$γ+α = 35°$

三角形の内角は180°なので、角C = 120°

α+β = 25°

γ+α = 35°

角OCB = 120°-γ

α=35-γ

35-γ+β = 25°

β-γ = -10

β = γ-10

β+γ = 120

γ-10 + γ = 120

2γ = 130

γ=65

β= 55

α = 35-65 = -30

$x = 2*(180-35-25) = 2*120 = 240$

$x/2 = (90-25)+(90-35)$

x=110

y=130

3. 最終的な答え

$x = 110°$

$y = 130°$