行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ が与えられている。ベクトル $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ を $\vec{y} = A \vec{x}$ で変換するとき、次の不等式で表される領域はそれぞれどのような領域に移るかを求める。 (1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ が与えられている。ベクトル $\vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ を $\vec{y} = A \vec{x}$ で変換するとき、次の不等式で表される領域はそれぞれどのような領域に移るかを求める。

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ の場合

$\vec{y} = A \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_1 + 3x_2 \end{bmatrix}$

$y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = x_1 + 3x_2$

$x_1 = 3y_1 - 2y_2$, $x_2 = -y_1 + y_2$

$0 \le 3y_1 - 2y_2 \le 1$, $0 \le -y_1 + y_2 \le 1$

領域は四つの不等式 $3y_1 - 2y_2 \ge 0$, $3y_1 - 2y_2 \le 1$, $-y_1 + y_2 \ge 0$, $-y_1 + y_2 \le 1$ で囲まれる平行四辺形。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

$x_1 = 3y_1 - 2y_2 \ge 0$

$3y_1 - 2y_2 \ge 0$

領域は直線 $3y_1 - 2y_2 = 0$ の $3y_1 - 2y_2 \ge 0$ を満たす側。

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

$x_2 = -y_1 + y_2 \le -(3y_1 - 2y_2)$

$-y_1 + y_2 \le -3y_1 + 2y_2$

$2y_1 \le y_2$

領域は直線 $y_2 = 2y_1$ の $y_2 \ge 2y_1$ を満たす側。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le 3y_1 - 2y_2 \le 1$, $0 \le -y_1 + y_2 \le 1$ で囲まれる平行四辺形。

(2) $3y_1 - 2y_2 \ge 0$ を満たす領域。

(3) $y_2 \ge 2y_1$ を満たす領域。