与えられた対数の式 $(\log_3 5 + \log_{27} 25)(\log_5 9 - \log_{25} 3)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $(\log_3 5 + \log_{27} 25)(\log_5 9 - \log_{25} 3)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を変換します。$\log_{27} 25 = \frac{\log_3 25}{\log_3 27}$、$\log_{25} 3 = \frac{\log_5 3}{\log_5 25}$ を用いると、与式は

$(\log_3 5 + \frac{\log_3 25}{\log_3 27})(\log_5 9 - \frac{\log_5 3}{\log_5 25})$

となります。

$\log_3 27 = 3$、$\log_3 25 = \log_3 5^2 = 2\log_3 5$、$\log_5 9 = \log_5 3^2 = 2\log_5 3$、$\log_5 25 = 2$ なので、

$(\log_3 5 + \frac{2\log_3 5}{3})(2\log_5 3 - \frac{\log_5 3}{2})$

$= (\log_3 5 + \frac{2}{3}\log_3 5)(2\log_5 3 - \frac{1}{2}\log_5 3)$

$= (\frac{5}{3}\log_3 5)(\frac{3}{2}\log_5 3)$

$= \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 3$

$= \frac{5}{2} \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 3$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、$\log_5 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 5} = \frac{1}{\log_3 5}$ なので、

$\frac{5}{2} \cdot \log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$