正三角形ABCの頂点を移動する点Xがあり、サイコロの出目によって移動が決まる。n回サイコロを投げたときに点Xが頂点Aにある確率 $p_n$ を求める問題。

1. 問題の内容

正三角形ABCの頂点を移動する点Xがあり、サイコロの出目によって移動が決まる。n回サイコロを投げたときに点Xが頂点Aにある確率 $p_n$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $p_1$ を求める。

1回の試行でAにとどまるのは、サイコロの目が1, 2, 3, 4のいずれかが出た場合である。

確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$p_2$ を求める。

A→A: 確率 $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

A→B→A: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

A→C→A: 確率 $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

$p_2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{16}{36} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

しかし、サイコロの出目が5のときBへ、6のときCへ移動するので、

A→B→Aの確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

A→C→Aの確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

Aにとどまる確率は $\frac{2}{3}$ なので、2回ともAにとどまる確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

BからAへ移動する確率は $\frac{1}{6}$

CからAへ移動する確率は $\frac{1}{6}$

Bにいる確率は $1 - p_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Cにいる確率は $1 - p_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$p_2 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{4}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{8}{18} + \frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

$p_3$ を求める。

$p_1 = \frac{2}{3}$

$p_2 = \frac{5}{9}$

Aにいる確率 $p_n$, BまたはCにいる確率 $1 - p_n$

$p_{n+1} = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{6}(1 - p_n) + \frac{1}{6} (1 - p_n) = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} (1 - p_n) = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} p_n = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$

$p_3 = \frac{1}{3} p_2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{3} = \frac{5}{27} + \frac{9}{27} = \frac{14}{27}$

(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す。

Aにいる確率 $p_n$

BまたはCにいる確率 $1 - p_n$

$p_{n+1} = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{6} (1 - p_n) + \frac{1}{6}(1 - p_n) = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} (1 - p_n) = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} p_n = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$

(3) $p_n$ を $n$ で表す。

$p_{n+1} = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$

$p_{n+1} - \alpha = \frac{1}{3} (p_n - \alpha)$

$\alpha = \frac{1}{3} \alpha + \frac{1}{3}$

$\frac{2}{3} \alpha = \frac{1}{3}$

$\alpha = \frac{1}{2}$

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} (p_n - \frac{1}{2})$

$p_n - \frac{1}{2} = (p_1 - \frac{1}{2}) (\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = (p_1 - \frac{1}{2}) (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$

$p_1 = \frac{2}{3}$ なので、

$p_n = (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2} = (\frac{4}{6} - \frac{3}{6}) (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{2}{3}$, $p_2 = \frac{5}{9}$, $p_3 = \frac{14}{27}$

(2) $p_{n+1} = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$

(3) $p_n = \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{1}{2}$