放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動させた放物線の頂点が $(-1, 1)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動させた放物線の頂点が $(-1, 1)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 2ax + b$ を平方完成して頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 - a^2 + b$

したがって、放物線の頂点は $(a, -a^2 + b)$ である。

次に、$y = x^2 - 2ax + b$ を $x$ 軸方向に 4, $y$ 軸方向に 1 だけ平行移動させた放物線の方程式を求める。

$x$ 軸方向に 4 だけ移動すると $x$ が $x - 4$ に変わり、$y$ 軸方向に 1 だけ移動すると $y$ が $y - 1$ に変わるので、

$y - 1 = (x - 4)^2 - 2a(x - 4) + b$

$y = (x - 4)^2 - 2a(x - 4) + b + 1$

$y = x^2 - 8x + 16 - 2ax + 8a + b + 1$

$y = x^2 - (2a + 8)x + 8a + b + 17$

この放物線を平方完成する。

$y = (x - (a + 4))^2 - (a + 4)^2 + 8a + b + 17$

$y = (x - (a + 4))^2 - (a^2 + 8a + 16) + 8a + b + 17$

$y = (x - (a + 4))^2 - a^2 - 8a - 16 + 8a + b + 17$

$y = (x - (a + 4))^2 - a^2 + b + 1$

したがって、平行移動後の放物線の頂点の座標は $(a + 4, -a^2 + b + 1)$ である。

問題文より、この頂点の座標は $(-1, 1)$ であるから、以下の連立方程式が成り立つ。

$a + 4 = -1$

$-a^2 + b + 1 = 1$

一つ目の式から、$a = -5$ である。

これを二つ目の式に代入すると、

$-(-5)^2 + b + 1 = 1$

$-25 + b + 1 = 1$

$b = 25$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 25$