大人3人、子供5人の中から4人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。 (1) 大人2人と子供2人を選ぶ。 (2) 大人が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

1. 問題の内容

大人3人、子供5人の中から4人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ。

(2) 大人が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

大人2人を選ぶ組み合わせは $_3C_2$ 通り。

子供2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。

よって、大人2人と子供2人を選ぶ組み合わせは $_3C_2 \times _5C_2$ 通り。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、

$_3C_2 \times _5C_2 = 3 \times 10 = 30$

(2)

4人を選ぶすべての組み合わせから、大人が1人も含まれない組み合わせ（つまり4人全員が子供である組み合わせ）を引けばよい。

4人を選ぶすべての組み合わせは $_8C_4$ 通り。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

4人全員が子供である組み合わせは $_5C_4$ 通り。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$

したがって、大人が少なくとも1人含まれる組み合わせは $70 - 5 = 65$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り