確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) で与えられているとき、以下のものを求めます。 * $P(0.5 \le X \le 1.5)$ * 期待値 $E(X)$ * 分散 $V(X)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{2}x$ ($0 \le x \le 2$) で与えられているとき、以下のものを求めます。

* $P(0.5 \le X \le 1.5)$

* 期待値 $E(X)$

* 分散 $V(X)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた確率密度関数が正しいかを確認します。確率密度関数の定義より、全区間での積分が1になる必要があります。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_0^2 = \frac{1}{2} (\frac{4}{2} - 0) = 1$

よって、与えられた関数は確率密度関数として正しいです。

(1) $P(0.5 \le X \le 1.5)$ を求める。

確率 $P(0.5 \le X \le 1.5)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を区間 $[0.5, 1.5]$ で積分することで得られます。

$P(0.5 \le X \le 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_{0.5}^{1.5} = \frac{1}{2} (\frac{1.5^2}{2} - \frac{0.5^2}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{2.25}{2} - \frac{0.25}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{2}) = \frac{1}{2}$

(2) 期待値 $E(X)$ を求める。

期待値は $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ で計算できます。この問題の場合、

$E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} [\frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - 0) = \frac{4}{3}$

(3) 分散 $V(X)$ を求める。

分散は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。まず、$E(X^2)$ を求めます。

$E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{1}{2} [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{16}{4} - 0) = \frac{1}{2} (4) = 2$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - (\frac{4}{3})^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

* $P(0.5 \le X \le 1.5) = \frac{1}{2}$

* $E(X) = \frac{4}{3}$

* $V(X) = \frac{2}{9}$