曲線 $y = mx^2$ に沿って $(x, y) \to (0, 0)$ となるとき、関数 $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + 2y^2}$ の極限を求め、さらに $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在しないことを証明する。

1. 問題の内容

曲線 $y = mx^2$ に沿って $(x, y) \to (0, 0)$ となるとき、関数 $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + 2y^2}$ の極限を求め、さらに $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在しないことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = mx^2$ に沿った極限を求める。

$f(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + 2y^2}$ に $y = mx^2$ を代入する。

$$f(x, mx^2) = \frac{x^2(mx^2)}{x^4 + 2(mx^2)^2} = \frac{mx^4}{x^4 + 2m^2x^4} = \frac{mx^4}{x^4(1 + 2m^2)} = \frac{m}{1 + 2m^2}$$

したがって、$x \to 0$ とすると、

$$\lim_{x \to 0} f(x, mx^2) = \lim_{x \to 0} \frac{m}{1 + 2m^2} = \frac{m}{1 + 2m^2}$$

(2) 極限が存在しないことを示す。

曲線 $y = mx^2$ に沿って $(0, 0)$ に近づくときの極限値 $\frac{m}{1 + 2m^2}$ は、$m$ の値によって異なる。

例えば、$m = 1$ のとき、極限値は $\frac{1}{1 + 2(1)^2} = \frac{1}{3}$ である。

一方、$m = 0$ のとき（つまり、$y = 0$ に沿って近づく場合）、極限値は $\frac{0}{1 + 2(0)^2} = 0$ である。

別の例として、$y = x^2$ に沿って $(0, 0)$ に近づく場合 $(m = 1)$、極限値は $\frac{1}{1 + 2(1)^2} = \frac{1}{3}$ であり、$y = 2x^2$ に沿って $(0, 0)$ に近づく場合 $(m = 2)$、極限値は $\frac{2}{1 + 2(2)^2} = \frac{2}{9}$ である。

極限値が近づき方によって異なるため、$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ は存在しない。

3. 最終的な答え

曲線 $y = mx^2$ に沿った極限は $\frac{m}{1 + 2m^2}$ である。

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ は存在しない。