与えられた不定積分を計算する問題です。 問4は (1) $\int 4 \, dx$, (2) $\int 3x \, dx$, (3) $\int (-2x) \, dx$, (4) $\int 5x^2 \, dx$ を計算し、 問5は (1) $\int (3x+2) \, dx$, (2) $\int (x^2+4x-1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

問4は (1) $\int 4 \, dx$, (2) $\int 3x \, dx$, (3) $\int (-2x) \, dx$, (4) $\int 5x^2 \, dx$ を計算し、

問5は (1) $\int (3x+2) \, dx$, (2) $\int (x^2+4x-1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

不定積分の公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$, $C$ は積分定数) と $\int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$ (ただし、$k$は定数) を用いて計算します。

問4

(1) $\int 4 \, dx = 4 \int 1 \, dx = 4 \int x^0 \, dx = 4 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C = 4x + C$

(2) $\int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \int x^1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{3}{2}x^2 + C$

(3) $\int (-2x) \, dx = -2 \int x \, dx = -2 \int x^1 \, dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = -2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -x^2 + C$

(4) $\int 5x^2 \, dx = 5 \int x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5}{3}x^3 + C$

問5

(1) $\int (3x+2) \, dx = \int 3x \, dx + \int 2 \, dx = 3 \int x \, dx + 2 \int 1 \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = \frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

(2) $\int (x^2+4x-1) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 4x \, dx - \int 1 \, dx = \int x^2 \, dx + 4 \int x \, dx - \int 1 \, dx = \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$

3. 最終的な答え

問4

(1) $4x + C$

(2) $\frac{3}{2}x^2 + C$

(3) $-x^2 + C$

(4) $\frac{5}{3}x^3 + C$

問5

(1) $\frac{3}{2}x^2 + 2x + C$

(2) $\frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C$