## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

画像に示された多変数関数の問題について、いくつか質問があります。具体的には以下の問題について解答します。

* **問5-1 (1)** 関数 $f(x, y) = xy + 1$ について、$f(0, 0)$, $f(1, 2)$, $f(-1, 1)$ の値を求めます。

* **問5-3 (1)** 関数 $f(x, y, z) = xy + yz + zx$ について、$\nabla f$ を求めます。

* **問5-4 (1)** $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ に対して、$\nabla r$ を求めます。

* **問5-5 (2)** 関数 $f(x, y) = xy + y^2$ の全微分 $df$ を計算します。

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2. 解き方の手順

**問5-1 (1)**

$f(x, y) = xy + 1$ に、それぞれの $(x, y)$ の値を代入します。

* $f(0, 0) = (0)(0) + 1 = 1$

* $f(1, 2) = (1)(2) + 1 = 3$

* $f(-1, 1) = (-1)(1) + 1 = 0$

**問5-3 (1)**

$\nabla f$ は、$f$ の勾配ベクトルであり、各変数に関する偏微分を成分として持ちます。

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$

$f(x, y, z) = xy + yz + zx$ について、偏微分を計算します。

* $\frac{\partial f}{\partial x} = y + z$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = x + z$

* $\frac{\partial f}{\partial z} = x + y$

したがって、

$\nabla f = (y + z, x + z, x + y)$

**問5-4 (1)**

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ について、$\nabla r$ を計算します。

$\nabla r = \left( \frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial r}{\partial z} \right)$

* $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

* $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

* $\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2z = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

したがって、

$\nabla r = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r} \right)$

**問5-5 (2)**

関数 $f(x, y) = xy + y^2$ の全微分 $df$ は以下のように計算されます。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

* $\frac{\partial f}{\partial x} = y$

* $\frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y$

したがって、

$df = y dx + (x + 2y) dy$

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3. 最終的な答え

* **問5-1 (1)**

* $f(0, 0) = 1$

* $f(1, 2) = 3$

* $f(-1, 1) = 0$

* **問5-3 (1)** $\nabla f = (y + z, x + z, x + y)$

* **問5-4 (1)** $\nabla r = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r} \right)$

* **問5-5 (2)** $df = y dx + (x + 2y) dy$