関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos^2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin\theta + 2\cos^2\theta - 1$ の $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を $\sin\theta$ のみで表すことを考えます。三角関数の恒等式 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いると、

$y = 2\sin\theta + 2(1 - \sin^2\theta) - 1$

$y = 2\sin\theta + 2 - 2\sin^2\theta - 1$

$y = -2\sin^2\theta + 2\sin\theta + 1$

ここで、$t = \sin\theta$ とおくと、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $-1 \le t \le 1$ となります。すると、$y$ は $t$ の2次関数として表せます。

$y = -2t^2 + 2t + 1$

次に、この2次関数を平方完成します。

$y = -2(t^2 - t) + 1$

$y = -2(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

この式より、$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。また、$t$ の定義域は $-1 \le t \le 1$ なので、この範囲で最小値を考えます。

$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$

$t = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$

したがって、$t = -1$ のときに最小値 $-3$ をとります。

次に、それぞれの $t$ の値に対応する $\theta$ の値を求めます。

$t = \sin\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{6}$

$t = \sin\theta = -1$ のとき、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より $\theta = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}$ のとき)

最小値: $-3$ ($\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき)