Aの袋には白玉4個と赤玉5個、Bの袋には白玉6個と赤玉3個が入っている。まず、Aの袋から同時に2個の玉を取り出してBの袋に入れ、よく混ぜた後、Bの袋から同時に2個の玉を取り出してAの袋に入れる。このとき、Aの袋の中の白玉の個数が増えている確率を求める。

1. 問題の内容

Aの袋には白玉4個と赤玉5個、Bの袋には白玉6個と赤玉3個が入っている。まず、Aの袋から同時に2個の玉を取り出してBの袋に入れ、よく混ぜた後、Bの袋から同時に2個の玉を取り出してAの袋に入れる。このとき、Aの袋の中の白玉の個数が増えている確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、Aの袋から2個取り出す組み合わせを考える。

* (Aから白2個)を取り出す確率: $\frac{{}_4C_2}{{}_9C_2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* (Aから白1個、赤1個)を取り出す確率: $\frac{{}_4C_1 \cdot {}_5C_1}{{}_9C_2} = \frac{4 \cdot 5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

* (Aから赤2個)を取り出す確率: $\frac{{}_5C_2}{{}_9C_2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

次に、Aから取り出した玉をBに入れた後のBの状態を考える。

* (Aから白2個)の場合: Bは(白8個、赤3個)

* (Aから白1個、赤1個)の場合: Bは(白7個、赤4個)

* (Aから赤2個)の場合: Bは(白6個、赤5個)

それぞれのBの状態から2個取り出す組み合わせを考える。

* (Bから白2個)を取り出す確率

* B(白8, 赤3)のとき: $\frac{{}_8C_2}{{}_{11}C_2} = \frac{28}{55}$

* B(白7, 赤4)のとき: $\frac{{}_7C_2}{{}_{11}C_2} = \frac{21}{55}$

* B(白6, 赤5)のとき: $\frac{{}_6C_2}{{}_{11}C_2} = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$

Aの袋の中の白玉の個数が増えるのは、Bから取り出した2個が白玉2個の場合のみである。

求める確率は、以下の確率の和になる。

(Aから白2個を取り出す確率) $\times$ (Bから白2個を取り出す確率) + (Aから白1個赤1個を取り出す確率) $\times$ (Bから白2個を取り出す確率) + (Aから赤2個を取り出す確率) $\times$ (Bから白2個を取り出す確率)

$\frac{1}{6} \cdot \frac{28}{55} + \frac{5}{9} \cdot \frac{21}{55} + \frac{5}{18} \cdot \frac{15}{55} = \frac{28}{330} + \frac{105}{495} + \frac{75}{990} = \frac{28}{330} + \frac{7}{33} + \frac{5}{66} = \frac{28}{330} + \frac{70}{330} + \frac{25}{330} = \frac{123}{330} = \frac{41}{110}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{110}$