ある国の人の血液型がAB型である確率は1/10である。その国から$n$人を無作為に抽出する。$k$番目に抽出された人がAB型であるとき確率変数 $X_k = 1$ 、そうでないとき $X_k = 0$ とする。このとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

ある国の人の血液型がAB型である確率は1/10である。その国から$n$人を無作為に抽出する。$k$番目に抽出された人がAB型であるとき確率変数 $X_k = 1$ 、そうでないとき $X_k = 0$ とする。このとき、標本平均 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各$X_k$の期待値と分散を求める。

$X_k$はベルヌーイ分布に従う確率変数であり、AB型である確率 $p = \frac{1}{10}$ である。

したがって、$E(X_k) = p = \frac{1}{10}$ である。

また、$V(X_k) = p(1-p) = \frac{1}{10} (1 - \frac{1}{10}) = \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{100}$ である。

次に、標本平均 $\bar{X}$ の期待値を求める。

$E(\bar{X}) = E(\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}) = \frac{1}{n} E(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E(X_k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10} = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$.

次に、標本平均 $\bar{X}$ の分散を求める。

$X_1, X_2, \dots, X_n$ は独立であるから、

$V(\bar{X}) = V(\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}) = \frac{1}{n^2} V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} V(X_k) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{100} = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \frac{9}{100} = \frac{9}{100n}$.

最後に、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差を求める。

$\sigma(\bar{X}) = \sqrt{V(\bar{X})} = \sqrt{\frac{9}{100n}} = \frac{3}{10\sqrt{n}}$.

3. 最終的な答え

期待値: $\frac{1}{10}$

標準偏差: $\frac{3}{10\sqrt{n}}$