円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線との距離が円の半径より小さいことです。

まず、円 $x^2 + y^2 = 4$ の中心は原点(0, 0)であり、半径は2です。

次に、点と直線の距離の公式を使って、原点(0, 0)と直線 $y = -x + k$、すなわち $x + y - k = 0$ との距離 $d$ を求めます。

点と直線の距離の公式は、$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。ここで、$(x_0, y_0)$ は点の座標、$ax + by + c = 0$ は直線の式です。

今回の場合は、$a = 1, b = 1, c = -k, x_0 = 0, y_0 = 0$ なので、

$$d = \frac{|1(0) + 1(0) - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-k|}{\sqrt{2}} = \frac{|k|}{\sqrt{2}}$$

円と直線が異なる2点で交わるためには、$d < 2$ である必要があります。

したがって、

$$\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 2$$

$$|k| < 2\sqrt{2}$$

$$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$