(1) 点 $(1, -3)$ と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求めます。 (2) 原点 $O$ と直線 $y = -3x + 5$ の距離を求めます。

1. 問題の内容

(1) 点 $(1, -3)$ と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求めます。

(2) 原点 $O$ と直線 $y = -3x + 5$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で計算できます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この公式を使って、点 $(1, -3)$ と直線 $2x + y - 5 = 0$ の距離を求めます。

$x_1 = 1$, $y_1 = -3$, $a = 2$, $b = 1$, $c = -5$ を代入すると、

$d = \frac{|2(1) + 1(-3) - 5|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 3 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ をかけます。

$d = \frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) 原点 $O (0, 0)$ と直線 $y = -3x + 5$ の距離を求めます。

まず、直線の式を $ax + by + c = 0$ の形に変形します。

$y = -3x + 5$ より、 $3x + y - 5 = 0$ となります。

ここで、$x_1 = 0$, $y_1 = 0$, $a = 3$, $b = 1$, $c = -5$ を代入します。

$d = \frac{|3(0) + 1(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{10}$ をかけます。

$d = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{6\sqrt{5}}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{10}}{2}$