(3) 点$(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。
2025/7/11
1. 問題の内容
(3) 点 を通る円 の接線と法線を求めます。
(4) 曲面 上の点 における接平面と法線を求めます。
2. 解き方の手順
(3) 円 上の点 における接線を求めます。
円 上の点 における接線の方程式は で与えられます。
この場合、, , なので、接線の方程式は
接線の傾きは です。
法線は接線に垂直なので、法線の傾きは です。
点 を通る傾き の直線の方程式は
(4) 曲面 上の点 における接平面と法線を求めます。
曲面を と表します。
このとき、接平面の法線ベクトルは で与えられます。
点 における法線ベクトルは です。
接平面の方程式は
法線は、点 を通り、方向ベクトル を持つ直線なので、
3. 最終的な答え
(3) 接線: または
法線:
(4) 接平面: または
法線: