(3) 点$(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ を通る円 $x^2 + y^2 = 1$ の接線と法線を求めます。 (4) 曲面 $z = xy$ 上の点 $(1, 1, 1)$ における接平面と法線を求めます。

幾何学接線法線曲面多変数関数
2025/7/11

1. 問題の内容

(3) 点(33,1)(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) を通る円 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 の接線と法線を求めます。
(4) 曲面 z=xyz = xy 上の点 (1,1,1)(1, 1, 1) における接平面と法線を求めます。

2. 解き方の手順

(3) 円 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 上の点 (33,1)(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) における接線を求めます。
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 上の点 (x0,y0)(x_0, y_0) における接線の方程式は x0x+y0y=r2x_0x + y_0y = r^2 で与えられます。
この場合、x0=33x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}, y0=1y_0 = 1, r2=1r^2 = 1 なので、接線の方程式は
33x+y=1\frac{\sqrt{3}}{3}x + y = 1
y=33x+1y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1
接線の傾きは 33-\frac{\sqrt{3}}{3} です。
法線は接線に垂直なので、法線の傾きは 3\sqrt{3} です。
(33,1)(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) を通る傾き 3\sqrt{3} の直線の方程式は
y1=3(x33)y - 1 = \sqrt{3}(x - \frac{\sqrt{3}}{3})
y1=3x1y - 1 = \sqrt{3}x - 1
y=3xy = \sqrt{3}x
(4) 曲面 z=xyz = xy 上の点 (1,1,1)(1, 1, 1) における接平面と法線を求めます。
曲面を f(x,y,z)=xyz=0f(x, y, z) = xy - z = 0 と表します。
このとき、接平面の法線ベクトルは f(x,y,z)=(fx,fy,fz)=(y,x,1)\nabla f(x, y, z) = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (y, x, -1) で与えられます。
(1,1,1)(1, 1, 1) における法線ベクトルは f(1,1,1)=(1,1,1)\nabla f(1, 1, 1) = (1, 1, -1) です。
接平面の方程式は
1(x1)+1(y1)1(z1)=01(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - 1) = 0
x1+y1z+1=0x - 1 + y - 1 - z + 1 = 0
x+yz1=0x + y - z - 1 = 0
z=x+y1z = x + y - 1
法線は、点 (1,1,1)(1, 1, 1) を通り、方向ベクトル (1,1,1)(1, 1, -1) を持つ直線なので、
x11=y11=z11\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{-1}
x1=y1=(z1)x - 1 = y - 1 = -(z - 1)
x=y=z+3x = y = -z + 3

3. 最終的な答え

(3) 接線: 33x+y=1\frac{\sqrt{3}}{3}x + y = 1 または y=33x+1y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1
法線: y=3xy = \sqrt{3}x
(4) 接平面: x+yz1=0x + y - z - 1 = 0 または z=x+y1z = x + y - 1
法線: x=y=z+3x = y = -z + 3

「幾何学」の関連問題

三角形ABCにおいて、角BDCが70度、角ACBが80度であるとき、角ABCの大きさを求める問題です。

三角形角度内角の和外角
2025/7/12

一辺が10cmの正方形ABCDがあり、辺AD上にAP=4cmとなる点Pがある。点QはAから出発し、毎秒1cmの速さで正方形の周上をB,Cを通ってDまで移動する。Aを出発してからx秒後の三角形PAQの面...

正方形面積三角形座標幾何
2025/7/12

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1であるとき、三角形AB...

チェバの定理メネラウスの定理面積比三角形
2025/7/12

直角三角形ABCの内接円と各辺の接点をP, Q, Rとする。∠A=90°, BP=10, PC=3であるとき、∠RPQの大きさと内接円の半径を求める。

直角三角形内接円幾何学的性質三平方の定理
2025/7/12

問題は、与えられた図の中に相似な三角形がある場合、それらを相似の記号(∽)を使って表し、その時の相似条件を答えるというものです。ここでは、図(5), (6), (7), (8), (9), (10),...

相似三角形相似条件図形
2025/7/12

画像に示された図形(5),(6),(7),(8),(9)において、相似な三角形を記号$∽$を使って表し、そのときの三角形の相似条件を述べる。

相似三角形相似条件図形
2025/7/12

与えられた図形の中から相似な三角形を見つけ出し、相似記号を使って表現し、その時の三角形の相似条件を答える問題です。今回は問題(7), (8), (9), (12)を解きます。

相似三角形相似条件図形
2025/7/12

与えられた図の中から相似な三角形を見つけ出し、相似の記号を使って表し、その相似条件を述べる問題です。図は全部で7つ((5)から(11)まで)あります。

相似三角形相似条件
2025/7/12

図に示された三角形の中に相似な三角形を見つけ、相似記号($\sim$)を用いて表し、その相似条件を述べる問題です。

相似三角形相似条件辺の比
2025/7/12

図に示された三角形の中から相似な三角形を記号 $\sim$ を使って表し、その相似条件を答える問題です。今回は、(4)、(5)、(6)の3つの図形について、それぞれ相似な三角形とその相似条件を求めます...

相似三角形相似条件
2025/7/12