円 $x^2 + y^2 = 20$ と直線 $y = 2x + k$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 円と直線が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。 (2) 円と直線が接するときの、定数 $k$ の値と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 20$ と直線 $y = 2x + k$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 円と直線が共有点を持つときの、定数 $k$ の値の範囲を求めます。

(2) 円と直線が接するときの、定数 $k$ の値と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることです。

円 $x^2 + y^2 = 20$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ です。

直線 $y = 2x + k$ は、$2x - y + k = 0$ と書き換えられます。

点 $(0, 0)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|2(0) - (0) + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$$

共有点を持つ条件は、$d \le 2\sqrt{5}$ であるから、

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} \le 2\sqrt{5}$$

$$|k| \le 10$$

$$-10 \le k \le 10$$

(2) 円と直線が接する条件は、円の中心と直線の距離が円の半径と等しいことです。

上記の計算から、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離 $d$ は $\frac{|k|}{\sqrt{5}}$ です。

円の半径は $2\sqrt{5}$ です。

接する条件は、$d = 2\sqrt{5}$ であるから、

$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$

$$|k| = 10$$

$$k = \pm 10$$

$k = 10$ のとき、直線は $y = 2x + 10$ です。

円の方程式に代入すると、$x^2 + (2x + 10)^2 = 20$ より、

$x^2 + 4x^2 + 40x + 100 = 20$

$5x^2 + 40x + 80 = 0$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x + 4)^2 = 0$

$x = -4$

$y = 2(-4) + 10 = 2$

接点は $(-4, 2)$ です。

$k = -10$ のとき、直線は $y = 2x - 10$ です。

円の方程式に代入すると、$x^2 + (2x - 10)^2 = 20$ より、

$x^2 + 4x^2 - 40x + 100 = 20$

$5x^2 - 40x + 80 = 0$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

$y = 2(4) - 10 = -2$

接点は $(4, -2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $-10 \le k \le 10$

(2) $k = 10$ のとき、接点は $(-4, 2)$

$k = -10$ のとき、接点は $(4, -2)$