空間上の2点 A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線 l に、点 C(2, 3, 3) から下ろした垂線の足 H の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

空間上の2点 A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線 l に、点 C(2, 3, 3) から下ろした垂線の足 H の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直線 l のベクトル方程式を求める。

直線 l は点 A(-3, -1, 1) を通り、方向ベクトルは $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 0, 0) - (-3, -1, 1) = (2, 1, -1)$ であるから、直線 l のベクトル方程式は、実数 t を用いて

$\vec{OH} = \vec{OA} + t\vec{AB}$

と表せる。よって、H の座標は、

$H = (-3+2t, -1+t, 1-t)$

となる。

(2) ベクトル $\vec{CH}$ と $\vec{AB}$ が垂直である条件を求める。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (-3+2t, -1+t, 1-t) - (2, 3, 3) = (-5+2t, -4+t, -2-t)$

$\vec{CH} \perp \vec{AB}$ より、

$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$

したがって、

$(-5+2t, -4+t, -2-t) \cdot (2, 1, -1) = 0$

$-10+4t -4+t+2+t = 0$

$6t - 12 = 0$

$t = 2$

(3) H の座標を求める。

$H = (-3+2t, -1+t, 1-t) = (-3+2(2), -1+2, 1-2) = (1, 1, -1)$

3. 最終的な答え

H(1, 1, -1)