問題文は「正弦定理を証明せよ」です。

1. 問題の内容

問題文は「正弦定理を証明せよ」です。

2. 解き方の手順

正弦定理は、三角形において、各辺の長さとその対角の正弦の比が一定であるという定理です。

三角形ABCにおいて、各辺の長さをそれぞれ$a, b, c$とし、対応する対角の大きさをそれぞれ$A, B, C$とします。このとき、正弦定理は以下のように表されます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

ここで、$R$は三角形ABCの外接円の半径です。

以下、証明を行います。

三角形ABCの外接円の中心をOとします。

円周角の定理より、$\angle BOC = 2A$です。

また、線分BOとCOは外接円の半径なので、$BO = CO = R$です。

三角形BOCは二等辺三角形なので、OからBCに下ろした垂線はBCを二等分します。この垂線の足をMとすると、$\angle BOM = \frac{1}{2} \angle BOC = A$となります。

直角三角形BOMにおいて、$\sin A = \frac{BM}{BO} = \frac{a/2}{R} = \frac{a}{2R}$が成り立ちます。

したがって、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

同様に、$B$、$C$についても、

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

が成り立つことが証明できます。

したがって、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$