問題は、2点 $A(-2, 7)$ と $B(4, 1)$ が与えられたとき、以下の点の座標を求める問題です。 (1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ (2) 線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $Q$ (3) 線分 $AB$ の中点 $M$

1. 問題の内容

問題は、2点 $A(-2, 7)$ と $B(4, 1)$ が与えられたとき、以下の点の座標を求める問題です。

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$

(2) 線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $Q$

(3) 線分 $AB$ の中点 $M$

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点 $P$ の座標を求めます。内分点の公式は、

$P(x, y) = (\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n})$

ここで、$A(x_1, y_1) = (-2, 7)$、$B(x_2, y_2) = (4, 1)$、$m = 2$、$n = 1$ を代入します。

$x = \frac{2(4) + 1(-2)}{2+1} = \frac{8 - 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{2(1) + 1(7)}{2+1} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3$

したがって、$P(2, 3)$

(2) 線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点 $Q$ の座標を求めます。内分点の公式は、

$Q(x, y) = (\frac{m x_2 + n x_1}{m+n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m+n})$

ここで、$A(x_1, y_1) = (-2, 7)$、$B(x_2, y_2) = (4, 1)$、$m = 1$、$n = 2$ を代入します。

$x = \frac{1(4) + 2(-2)}{1+2} = \frac{4 - 4}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$y = \frac{1(1) + 2(7)}{1+2} = \frac{1 + 14}{3} = \frac{15}{3} = 5$

したがって、$Q(0, 5)$

(3) 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求めます。中点の公式は、

$M(x, y) = (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

ここで、$A(x_1, y_1) = (-2, 7)$、$B(x_2, y_2) = (4, 1)$ を代入します。

$x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

したがって、$M(1, 4)$

3. 最終的な答え

(1) $P(2, 3)$

(2) $Q(0, 5)$

(3) $M(1, 4)$