2つの直線 $2x+y-1=0$ と $x-2y-3=0$ の交点を通り、直線 $x+y+1=0$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $2x+y-1=0$ と $x-2y-3=0$ の交点を通り、直線 $x+y+1=0$ に垂直な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の交点を求めます。

$2x+y-1=0$ と $x-2y-3=0$ を連立方程式として解きます。

1つ目の式から $y = 1 - 2x$ を得ます。

これを2つ目の式に代入すると、

$x - 2(1 - 2x) - 3 = 0$

$x - 2 + 4x - 3 = 0$

$5x - 5 = 0$

$5x = 5$

$x = 1$

$x = 1$ を $y = 1 - 2x$ に代入すると、

$y = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$

したがって、2つの直線の交点は $(1, -1)$ です。

次に、直線 $x+y+1=0$ に垂直な直線の傾きを求めます。

$x+y+1=0$ を $y = -x - 1$ と変形すると、この直線の傾きは $-1$ です。

これに垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$(-1) \times m = -1$ より、$m = 1$ となります。

最後に、傾きが $1$ で点 $(1, -1)$ を通る直線の方程式を求めます。

求める直線の方程式は、$y - (-1) = 1(x - 1)$ となります。

$y + 1 = x - 1$

$y = x - 2$

したがって、直線の方程式は $x - y - 2 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x - y - 2 = 0$