(1) 三角形ABCにおいて、辺ABの中点をF、辺ACを2:1に内分する点をEとする。辺BEと辺CFの交点をPとする。このとき、ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表し、$\vec{AP} = \frac{[1]}{2} \vec{AB} + \frac{[3]}{4} \vec{AC}$の[]を埋める。さらに、直線APと辺BCの交点をDとすると、$\vec{AD} = \frac{[5]}{6} \vec{AP}$で、Dは辺BCを$[7]:[8]$に内分する点の[]を埋める。 (2) Oを原点とする座標空間に3点A(1,0,1), B(2,2,3), C(5,-3,8)をとる。$\vec{OA} \cdot \vec{OC} = [9][10]$, $\vec{OB} \cdot \vec{OC} = [11][12]$である。平面OAB上に、直線CHと平面OABが垂直になるように、点Hをとる。実数s, tにより、$\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$と表すとき、$\vec{CH} \cdot \vec{OA}=0$ かつ $\vec{CH} \cdot \vec{OB}=0$が成り立つことから、$s = [13]$, $t = [14][15]$である。[]を埋める問題。

幾何学ベクトル空間ベクトルチェバの定理メネラウスの定理内分内積
2025/7/13

1. 問題の内容

(1) 三角形ABCにおいて、辺ABの中点をF、辺ACを2:1に内分する点をEとする。辺BEと辺CFの交点をPとする。このとき、ベクトルAPをベクトルABとベクトルACで表し、AP=[1]2AB+[3]4AC\vec{AP} = \frac{[1]}{2} \vec{AB} + \frac{[3]}{4} \vec{AC}の[]を埋める。さらに、直線APと辺BCの交点をDとすると、AD=[5]6AP\vec{AD} = \frac{[5]}{6} \vec{AP}で、Dは辺BCを[7]:[8][7]:[8]に内分する点の[]を埋める。
(2) Oを原点とする座標空間に3点A(1,0,1), B(2,2,3), C(5,-3,8)をとる。OAOC=[9][10]\vec{OA} \cdot \vec{OC} = [9][10], OBOC=[11][12]\vec{OB} \cdot \vec{OC} = [11][12]である。平面OAB上に、直線CHと平面OABが垂直になるように、点Hをとる。実数s, tにより、OH=sOA+tOB\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}と表すとき、CHOA=0\vec{CH} \cdot \vec{OA}=0 かつ CHOB=0\vec{CH} \cdot \vec{OB}=0が成り立つことから、s=[13]s = [13], t=[14][15]t = [14][15]である。[]を埋める問題。

2. 解き方の手順

(1)
まず、AP\vec{AP}AB\vec{AB}AC\vec{AC}で表すことを考える。チェバの定理より、AFFBBDDCCEEA=1\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1AF=FBAF=FB, CE:EA=1:2CE:EA=1:2なので、11BDDC12=1\frac{1}{1} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1}{2} = 1。したがって、BD:DC=2:1BD:DC = 2:1
AD=1AB+2AC2+1=13AB+23AC\vec{AD} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + 2 \cdot \vec{AC}}{2+1} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}
次に、メネラウスの定理を直線BEと三角形AFCに適用すると、AEECCBBDDPPA=1\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DP}{PA} = 1AE:EC=2:1AE:EC=2:1, CB:BD=(2+1):2=3:2CB:BD = (2+1):2 = 3:2なので、2132DPPA=1\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{DP}{PA} = 1。したがって、DPPA=13\frac{DP}{PA} = \frac{1}{3}。これにより、AP:AD=3:4AP:AD=3:4となるので、AP=34AD=34(13AB+23AC)=14AB+12AC\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}) = \frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}
したがって、AP=14AB+12AC\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}.
与えられた式と係数を比較すると、[1]=1, [3]=2。
AD=43AP\vec{AD} = \frac{4}{3}\vec{AP}なので、AD=3344AP=43AP=13AB+23AC\vec{AD} = \frac{3}{3} \cdot \frac{4}{4} \cdot \vec{AP} = \frac{4}{3}\vec{AP} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{2}{3} \vec{AC}.
AP:PD=3:1AP:PD=3:1なので、AD=43AP\vec{AD}=\frac{4}{3}\vec{AP}である。問題文では、AD=56AP\vec{AD}=\frac{5}{6}\vec{AP}となっているので、問題文が誤り。ただし、ここでは問題文の形式に合わせ、AD=[5]6AP\vec{AD}=\frac{[5]}{6}\vec{AP}とする。AP=34AD\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD}なので、AD=43AP\vec{AD} = \frac{4}{3}\vec{AP}。よって、[5]6=34\frac{[5]}{6} = \frac{3}{4}より、[5]=6×34=92[5]= \frac{6\times3}{4}=\frac{9}{2}となり、これは整数ではないのでおかしい。
しかし、AD=33AD=13AB+23AC\vec{AD} = \frac{3}{3}AD = \frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}.
AP=14AB+12AC\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}. よってADAP=43\frac{AD}{AP}=\frac{4}{3}よりAD=43AP\vec{AD}=\frac{4}{3}\vec{AP}.
AD=13AB+23AC=13AB+23AC\vec{AD}=\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3} \vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}.
Dは辺BCをBD:DC=2:1BD:DC=2:1に内分するので、[7]=2[7]=2, [8]=1[8]=1
AP=34AD\vec{AP} = \frac{3}{4}\vec{AD}より、AD=43AP\vec{AD}=\frac{4}{3}\vec{AP}.
(2)
OA=(1,0,1)\vec{OA} = (1, 0, 1), OB=(2,2,3)\vec{OB} = (2, 2, 3), OC=(5,3,8)\vec{OC} = (5, -3, 8)
OAOC=(1)(5)+(0)(3)+(1)(8)=5+0+8=13\vec{OA} \cdot \vec{OC} = (1)(5) + (0)(-3) + (1)(8) = 5 + 0 + 8 = 13。よって、[9]=1[9]=1, [10]=3[10]=3
OBOC=(2)(5)+(2)(3)+(3)(8)=106+24=28\vec{OB} \cdot \vec{OC} = (2)(5) + (2)(-3) + (3)(8) = 10 - 6 + 24 = 28。よって、[11]=2[11]=2, [12]=8[12]=8
OH=sOA+tOB\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB}
CH=OHOC=sOA+tOBOC\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = s\vec{OA} + t\vec{OB} - \vec{OC}
CHOA=(sOA+tOBOC)OA=s(OAOA)+t(OBOA)(OCOA)=0\vec{CH} \cdot \vec{OA} = (s\vec{OA} + t\vec{OB} - \vec{OC}) \cdot \vec{OA} = s(\vec{OA} \cdot \vec{OA}) + t(\vec{OB} \cdot \vec{OA}) - (\vec{OC} \cdot \vec{OA}) = 0
CHOB=(sOA+tOBOC)OB=s(OAOB)+t(OBOB)(OCOB)=0\vec{CH} \cdot \vec{OB} = (s\vec{OA} + t\vec{OB} - \vec{OC}) \cdot \vec{OB} = s(\vec{OA} \cdot \vec{OB}) + t(\vec{OB} \cdot \vec{OB}) - (\vec{OC} \cdot \vec{OB}) = 0
OAOA=(1)2+(0)2+(1)2=2\vec{OA} \cdot \vec{OA} = (1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 2
OBOB=(2)2+(2)2+(3)2=4+4+9=17\vec{OB} \cdot \vec{OB} = (2)^2 + (2)^2 + (3)^2 = 4 + 4 + 9 = 17
OAOB=(1)(2)+(0)(2)+(1)(3)=2+0+3=5\vec{OA} \cdot \vec{OB} = (1)(2) + (0)(2) + (1)(3) = 2 + 0 + 3 = 5
よって、
2s+5t13=02s + 5t - 13 = 0
5s+17t28=05s + 17t - 28 = 0
連立方程式を解く。
2s+5t=132s + 5t = 13
5s+17t=285s + 17t = 28
1番目の式を5倍、2番目の式を2倍すると、
10s+25t=6510s + 25t = 65
10s+34t=5610s + 34t = 56
引くと、9t=9-9t = 9。よって、t=1t = -1
2s+5(1)=132s + 5(-1) = 13
2s=182s = 18
s=9s = 9

3. 最終的な答え

(1) [1]=1, [3]=2
[5]=4, [6]=3 (元々34\frac{3}{4}ということがわかっている)
[7]=2, [8]=1
(2) [9]=1, [10]=3
[11]=2, [12]=8
[13]=9, [14]=-, [15]=1

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