(1)
まず、APをABとACで表すことを考える。チェバの定理より、FBAF⋅DCBD⋅EACE=1。AF=FB, CE:EA=1:2なので、11⋅DCBD⋅21=1。したがって、BD:DC=2:1。 AD=2+11⋅AB+2⋅AC=31AB+32AC。 次に、メネラウスの定理を直線BEと三角形AFCに適用すると、ECAE⋅BDCB⋅PADP=1。AE:EC=2:1, CB:BD=(2+1):2=3:2なので、12⋅23⋅PADP=1。したがって、PADP=31。これにより、AP:AD=3:4となるので、AP=43AD=43(31AB+32AC)=41AB+21AC。 したがって、AP=41AB+21AC. 与えられた式と係数を比較すると、[1]=1, [3]=2。
AD=34APなので、AD=33⋅44⋅AP=34AP=31AB+32AC. AP:PD=3:1なので、AD=34APである。問題文では、AD=65APとなっているので、問題文が誤り。ただし、ここでは問題文の形式に合わせ、AD=6[5]APとする。AP=43ADなので、AD=34AP。よって、6[5]=43より、[5]=46×3=29となり、これは整数ではないのでおかしい。 しかし、AD=33AD=31AB+32AC. AP=41AB+21AC. よってAPAD=34よりAD=34AP. AD=31AB+32AC=31AB+32AC. Dは辺BCをBD:DC=2:1に内分するので、[7]=2, [8]=1 AP=43ADより、AD=34AP. (2)
OA=(1,0,1), OB=(2,2,3), OC=(5,−3,8) OA⋅OC=(1)(5)+(0)(−3)+(1)(8)=5+0+8=13。よって、[9]=1, [10]=3 OB⋅OC=(2)(5)+(2)(−3)+(3)(8)=10−6+24=28。よって、[11]=2, [12]=8 OH=sOA+tOB CH=OH−OC=sOA+tOB−OC CH⋅OA=(sOA+tOB−OC)⋅OA=s(OA⋅OA)+t(OB⋅OA)−(OC⋅OA)=0 CH⋅OB=(sOA+tOB−OC)⋅OB=s(OA⋅OB)+t(OB⋅OB)−(OC⋅OB)=0 OA⋅OA=(1)2+(0)2+(1)2=2 OB⋅OB=(2)2+(2)2+(3)2=4+4+9=17 OA⋅OB=(1)(2)+(0)(2)+(1)(3)=2+0+3=5 よって、
2s+5t−13=0 5s+17t−28=0 連立方程式を解く。
2s+5t=13 5s+17t=28 1番目の式を5倍、2番目の式を2倍すると、
10s+25t=65 10s+34t=56 引くと、−9t=9。よって、t=−1 2s+5(−1)=13