座標平面上に円 $C: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$ があり、円 $C$ 上を動く点 $A$ がある。原点 $O$ と点 $A$ を結ぶ線分 $OA$ の中点 $P$ は円 $C_1$ 上を動く。円 $C_1$ の方程式と、2つの円 $C$ と $C_1$ の2つの共有点 $B, D$ を持つときの直線 $BD$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$ があり、円 $C$ 上を動く点 $A$ がある。原点 $O$ と点 $A$ を結ぶ線分 $OA$ の中点 $P$ は円 $C_1$ 上を動く。円 $C_1$ の方程式と、2つの円 $C$ と $C_1$ の2つの共有点 $B, D$ を持つときの直線 $BD$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を求める。

点 $A$ の座標を $(X, Y)$ とすると、これは円 $C$ 上にあるので、

$(X-4)^2 + (Y-4)^2 = 8$ が成り立つ。

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$P$ は線分 $OA$ の中点なので、

$x = \frac{X+0}{2} = \frac{X}{2}$, $y = \frac{Y+0}{2} = \frac{Y}{2}$

したがって、$X = 2x$, $Y = 2y$。

これを円 $C$ の方程式に代入すると、

$(2x-4)^2 + (2y-4)^2 = 8$

$4(x-2)^2 + 4(y-2)^2 = 8$

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$

(2) 直線 $BD$ の方程式を求める。

2つの円 $C$ と $C_1$ の方程式はそれぞれ

$C: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$

$C_1: (x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$

2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差から得られる。

$(x-4)^2 + (y-4)^2 - 8 - \{(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2\} = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 8y + 16) - 8 - (x^2 - 4x + 4) - (y^2 - 4y + 4) + 2 = 0$

$-4x - 4y + 18 = 0$

$4x + 4y = 18$

$x + y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

円 $C_1$ の方程式は $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ である。与えられた形式に合うように書き換えると、$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ なので、4, 2, 2となる。

直線 $BD$ の方程式は $x + y = \frac{9}{2}$ である。与えられた形式は $x + y = \frac{7}{8}$ なので、これは誤り。

問題文の円C1は $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 6$となっている。

円C: $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$

直線の方程式を求めると：

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 8y + 16) - 8 - \{(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25) - 6\} = 0$

$- 8x - 8y + 24 + 8x + 10y - 31 + 6 = 0$

$2y - 1 = 0$

これは与えられた$x+y = \frac{7}{8}$の形式と合わない。問題の前提がおかしいので、答えられない。

円C1の中心は(2,2)、半径は$\sqrt{2}$である。

なので、$(x-2)^2+(y-2)^2=2$。

$x+y=\frac{9}{2}$

しかし、問題文を読み直すと、以下を埋める問題。

$(x-4)^2+(y-5)^2=6$

$x+y=\frac{7}{8}$

まず、円C1の形から、中心が(2,2)で半径が$\sqrt{2}$であることがわかる。

なので、$C_1$の式は、$(x-2)^2+(y-2)^2=2$

円C1の解答欄は(x-[2])^2+(y-[2])^2=[2]

円Cと円C1の式はそれぞれ、

$(x-4)^2+(y-4)^2=8$

$(x-2)^2+(y-2)^2=2$

2つの円の交点を通る直線は

$(x-4)^2+(y-4)^2-8 - [(x-2)^2+(y-2)^2-2] = 0$

$x^2-8x+16 +y^2-8y+16 -8 - (x^2-4x+4 +y^2-4y+4 -2) = 0$

$-4x-4y+18=0$

$2x+2y = 9$

$x+y = 9/2$

$(x-[2])^2+(y-[2])^2=[2]$

$x+y=\frac{9}{2}$

```

(x-[2])^2+(y-[2])^2=[2]

```

なので、答えは

円C1の式： $(x-2)^2+(y-2)^2=2$

直線の方程式： $x+y=\frac{9}{2}$

となる。

したがって、問題文の[]を埋めるように修正すると、

(x-[2])^2+(y-[2])^2=[2]

x+y=[9/2]

しかし、$x+y=\frac{7}{8}$を満たす数字が存在しない。

```

1. 問題の内容

座標平面上の円 $C: (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$ 上を動く点 $A$ があり、原点 $O$ と点 $A$ を結ぶ線分 $OA$ の中点 $P$ は円 $C_1: (x-□)^2 + (y-□)^2 = □$ 上を動く。また、2つの円 $C$ と $C_1$ は2つの共有点 $B, D$ をもち、直線 $BD$ の方程式は $x + y = \frac{□}{□}$ である。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C_1$ の方程式を求める。点 $A$ の座標を $(X, Y)$ とすると、これは円 $C$ 上にあるので、$(X-4)^2 + (Y-4)^2 = 8$ が成り立つ。点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$P$ は線分 $OA$ の中点なので、$x = \frac{X}{2}$, $y = \frac{Y}{2}$。したがって、$X = 2x$, $Y = 2y$。これを円 $C$ の方程式に代入すると、$(2x-4)^2 + (2y-4)^2 = 8$。整理すると、$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$。

(2) 直線 $BD$ の方程式を求める。円 $C$ と $C_1$ の方程式はそれぞれ、$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 8$ と $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$。2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差から得られる。

$(x-4)^2 + (y-4)^2 - 8 - \{(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2\} = 0$。整理すると、$-4x - 4y + 18 = 0$。したがって、$x + y = \frac{9}{2}$。

3. 最終的な答え

円 $C_1$ の方程式は $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$。直線 $BD$ の方程式は $x + y = \frac{9}{2}$。

```

(x-[2])^2 + (y-[2])^2 = [2]

```

直線 BDの方程式は、

x + y = [9/2]

```

円C1:

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2

```

```

x + y = 9/2

```