三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=6$, $CA=5$である。$\angle A$の二等分線と$BC$の交点を$D$, $\angle B$の二等分線と$AD$の交点を$I$とする。このとき、$BD$の長さと$AI:ID$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=7$, $BC=6$, $CA=5$である。$\angle A$の二等分線と$BC$の交点を$D$, $\angle B$の二等分線と$AD$の交点を$I$とする。このとき、$BD$の長さと$AI:ID$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $BD$の長さを求める。

角の二等分線の定理より、$BD:CD = AB:AC$であるから、

$BD:CD = 7:5$

$BD+CD = BC = 6$

したがって、$BD = \frac{7}{7+5} \times 6 = \frac{7}{12} \times 6 = \frac{7}{2} = 3.5$

(2) $AI:ID$を求める。

角の二等分線の定理より、$AI:ID = BA:BD$であるから、

$AI:ID = 7 : \frac{7}{2} = 2:1$

3. 最終的な答え

$BD = 3.5$

$AI:ID = 2:1$