$\angle ACB = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ$ 正弦定理より $\frac{AC}{\sin{45^\circ}} = \frac{AB}{\sin{60^\circ}}$ $AC = \frac{AB \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{1000 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1000 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1000 \sqrt{6}}{3}$

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1. 問題の内容

問題1：同一水平面上にある2点A, B間の距離が1000mである。点Aから山頂Cを見上げる角$\angle OAC = 60^\circ$、$\angle BAC = 75^\circ$、$\angle ABC = 45^\circ$ であるとき、点Aを通る水平面から山頂Cまでの高さOCを求めよ。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とする。

問題2：$\angle CBD = 60^\circ$、$\angle DAB = 45^\circ$、$\angle DBA = 15^\circ$、AB = 40m であるとき、塔の高さCDを求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題1

1. $\triangle ABC$に着目し、正弦定理を用いてACの長さを求める。

$\angle ACB = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ$

正弦定理より

$\frac{AC}{\sin{45^\circ}} = \frac{AB}{\sin{60^\circ}}$

$AC = \frac{AB \sin{45^\circ}}{\sin{60^\circ}} = \frac{1000 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1000 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1000 \sqrt{6}}{3}$

2. $\triangle OAC$に着目し、$\tan{60^\circ} = \frac{OC}{OA}$より、

$OC = AC \tan{60^\circ}$

$OC = AC \times \sqrt{3} = \frac{1000 \sqrt{6}}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1000 \times 3\sqrt{2}}{3} = 1000\sqrt{2}$

$\sqrt{2} = 1.41$を代入する。

$OC = 1000 \times 1.41 = 1410$

### 問題2

1. $\triangle ABD$において、$\angle ADB = 180^\circ - (45^\circ + 15^\circ) = 120^\circ$である。

2. $\triangle ABD$において、正弦定理より

$\frac{AD}{\sin{15^\circ}} = \frac{AB}{\sin{120^\circ}}$

$AD = \frac{AB \sin{15^\circ}}{\sin{120^\circ}} = \frac{40 \sin{15^\circ}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{80 \sin{15^\circ}}{\sqrt{3}}$

3. $\sin{15^\circ} = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin{45^\circ} \cos{30^\circ} - \cos{45^\circ} \sin{30^\circ}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって

$AD = \frac{80 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\sqrt{3}} = \frac{20 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{20 (\sqrt{18} - \sqrt{6})}{3} = \frac{20(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

4. $\triangle ADC$において、$\angle DAC = 45^\circ$なので、$\tan{45^\circ} = \frac{CD}{AD}$より、

$CD = AD \tan{45^\circ} = AD \times 1 = AD$

$CD = \frac{20(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

近似値を求めるのは難しいので、この形で残す。

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3. 最終的な答え

問題1：OC = 1410 m

問題2：CD = $\frac{20(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$ m