三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。 (1) BP:PCを求める。 (2) AO:OPを求める。 (3) 三角形OBPと三角形ABCの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をR、辺ACを4:3に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をO、直線AOと辺BCの交点をPとする。

(1) BP:PCを求める。

(2) AO:OPを求める。

(3) 三角形OBPと三角形ABCの面積比を求める。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理を用いる。

チェバの定理より

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$

よって、BP:PC = 2:3

(2) メネラウスの定理を三角形PBCと直線AOに関して用いる。

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OP} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$であり、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$である。

$\frac{PC}{BP} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QR}{RA} = 1$

メネラウスの定理を三角形ARCと直線BPに関して用いる。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$

$\frac{AB}{BR} = 1 + \frac{AR}{RB} = \frac{3}{1}$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$, $\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$ を用いる。

メネラウスの定理を三角形AOCと直線BPに関して用いる。

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BO} = 1$

三角形OBCに対して直線APを用いると、メネラウスの定理より

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{QO}{OB} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$

よって、$\frac{OB}{BQ} = \frac{7}{13}$

三角形ABCにチェバの定理を用いると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

よって、$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$

メネラウスの定理を三角形BOCと直線APに関して用いると、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{QO}{OB} = \frac{6}{7}$

$\frac{BQ}{OB} = \frac{13}{7}$

よって、$\frac{OB}{BQ} = \frac{7}{13}$

メネラウスの定理を三角形BCPと直線AOに関して用いると、

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RO}{OC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

$AO:OP$を求めるため、メネラウスの定理を三角形BOCと直線APに関して用いる

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AO}{OB} = \frac{BA}{AR} \cdot \frac{OR}{RC} \cdot \frac{AO}{OB} = 1$

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OB} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} = 2$

三角形ACOと直線BQに関してメネラウスの定理を適用する。

$\frac{AR}{RO} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{OB}{BC} = 1$

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CO}{OA} = 1$

$\frac{2}{1} = \frac{AP}{PA}$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{AR}{RB} = 2$, $\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$, $\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$

メネラウスの定理を用いると、三角形BCPにおいて$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{2}{3}$, $\frac{CA}{AQ} = \frac{7}{4}$より$\frac{QO}{OB} = \frac{6}{7}$

よって、$\frac{AO}{OP} = 5:1$

(3)

三角形OBPと三角形ABCの面積比を求める。

三角形OBPの面積 = $\frac{OB}{QB} \cdot \frac{BP}{BC} \cdot$三角形QBC

$\frac{BP}{BC} = \frac{2}{5}$, $\frac{OB}{BQ} = \frac{7}{13}$

三角形OBP = $\frac{7}{13} \cdot \frac{2}{5}$三角形ABC = $\frac{14}{65}$三角形ABC

3. 最終的な答え

(1) BP:PC = 2:3

(2) AO:OP = 5:1

(3) ΔOBP:ΔABC = 14:65