一辺の長さが2の正四面体OABCがある。頂点Oから平面ABCに下ろした垂線をOHとする。直線OHを軸として正四面体OABCを回転させたとき、三角形OABの周および内部が通過する部分の体積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体OABCがある。頂点Oから平面ABCに下ろした垂線をOHとする。直線OHを軸として正四面体OABCを回転させたとき、三角形OABの周および内部が通過する部分の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、正四面体OABCにおいて、Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求める。正三角形ABCの中心をHとすると、AHは正三角形ABCの外接円の半径である。正三角形ABCの一辺の長さは2なので、正三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$となる。また、正三角形ABCの外接円の半径は、$\frac{2}{\sqrt{3}}$である。

次に、三角形OAHにおいて、三平方の定理より、

$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 2^2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

よって、$OH = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

三角形OABをOHを軸に回転させると、円錐を2つ繋げたような立体ができる。この立体の体積を求める。OからABに下ろした垂線の足をMとすると、OMは正四面体の高さの半分であるから、$OM = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$となる。AM=1であり、MからOHに下ろした垂線の足をNとする。三角形OAMにおいて、回転軸からの距離MNを求める必要がある。$\angle AOH = \theta$とすると、$\tan \theta = \frac{AH}{OH} = \frac{2/\sqrt{3}}{2\sqrt{6}/3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$MN = AM \times \sin (\pi/2 - \theta)$。$OA \times \sin \theta = AM$なので、$\sin \theta = \frac{AM}{OA} = \frac{1}{2}$、したがって$\theta = \pi/6 = 30^\circ$なので、$\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

三角形OABはOHを軸として回転するので、回転体の体積は、線分ABが回転してできる円の半径をr, AB=2とすると、

$V= \frac{1}{3} \pi r^2 h$から計算される。

このとき$r=AM = 1$なので、$OM = \sqrt{3}$、$OH = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$。

$\frac{AB}{2} = h \tan (\theta), \tan(\theta)=1/\sqrt{2}$, $r = 1$

OH周りで回転する図形の体積は、2つの円錐を組み合わせたものであり、求める体積Vは

$V = \pi (OM^2 - HM^2)* HM = \pi(OA^2/4) OH = \pi (\sqrt{3})^2 \frac{1}{3} OH *2/3 = 2/3 (\pi \times 2/3) \pi = 2 \sqrt{6} \pi/ 9$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{6}}{9}\pi$