直角三角形ABCにおいて、BC=4, CA=3, ∠ACB=90°である。辺AB上にAD=xとなる点Dをとり、DからBC, ACへそれぞれ垂線DE, DFを引く。このとき、以下の問いに答える。 (1) 長方形DECFの面積Sをxで表せ。 (2) Sの最大値とそのときのxの値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文の内容、解き方の手順、最終的な答えを以下に示します。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、BC=4, CA=3, ∠ACB=90°である。辺AB上にAD=xとなる点Dをとり、DからBC, ACへそれぞれ垂線DE, DFを引く。このとき、以下の問いに答える。

(1) 長方形DECFの面積Sをxで表せ。

(2) Sの最大値とそのときのxの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ABの長さを三平方の定理を用いて求めます。

$AB = \sqrt{BC^2 + CA^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

したがって、$AB = 5$ です。

次に、$\triangle ADF \sim \triangle ABC$ であることを示します。

∠DAF = ∠BAC (共通)

∠AFD = ∠ACB = 90°

したがって、二角がそれぞれ等しいので、$\triangle ADF \sim \triangle ABC$です。

相似比は $AD:AB = x:5$ なので、

$DF = \frac{BC}{AB} \times AD = \frac{4}{5}x$

$AF = AD\cos(\angle BAC) = AD\frac{AC}{AB} = x\frac{3}{5} = \frac{3}{5}x$

$FC = AC - AF = 3 - \frac{3}{5}x$

$DE = FC = 3 - \frac{3}{5}x$

したがって、長方形DECFの面積Sは、

$S = DE \times DF = (3 - \frac{3}{5}x) \times \frac{4}{5}x = \frac{12}{5}x - \frac{12}{25}x^2$

$S = -\frac{12}{25}x^2 + \frac{12}{5}x$

(2)

Sの最大値を求めます。Sを平方完成します。

$S = -\frac{12}{25}(x^2 - 5x)$

$S = -\frac{12}{25}(x^2 - 5x + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2)$

$S = -\frac{12}{25}((x-\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4})$

$S = -\frac{12}{25}(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{12}{25} \times \frac{25}{4}$

$S = -\frac{12}{25}(x-\frac{5}{2})^2 + 3$

$0<x<5$であるから、$x=\frac{5}{2}$のとき、Sは最大値3をとる。

3. 最終的な答え

(1) $S = -\frac{12}{25}x^2 + \frac{12}{5}x$

(2) Sの最大値は3 ($x = \frac{5}{2}$のとき)