点A(4, -3) と直線 $l: 3x - 2y - 5 = 0$ が与えられています。 (1) 点Aを通り直線$l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求めます。 (2) 直線 $l$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求めます。 (3) 点Aを中心とし、直線 $l$ に接する円Cの方程式を求めます。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

点A(4, -3) と直線 $l: 3x - 2y - 5 = 0$ が与えられています。

(1) 点Aを通り直線$l$ に垂直な直線 $m$ の方程式を求めます。

(2) 直線 $l$ に関して点Aと対称な点Bの座標を求めます。

(3) 点Aを中心とし、直線 $l$ に接する円Cの方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l: 3x - 2y - 5 = 0$ の傾きは $3/2$ です。直線 $m$ は直線 $l$ に垂直なので、直線 $m$ の傾きは $-2/3$ です。

点A(4, -3) を通り、傾きが $-2/3$ の直線の方程式は、

$y - (-3) = -\frac{2}{3}(x - 4)$

$y + 3 = -\frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$

$3(y + 3) = -2x + 8$

$3y + 9 = -2x + 8$

$2x + 3y + 1 = 0$

したがって、直線 $m$ の方程式は $2x + 3y + 1 = 0$ です。

(2) 点Bの座標を(x, y)とします。線分ABの中点は直線l上にあります。

線分ABの中点は$(\frac{x+4}{2}, \frac{y-3}{2})$です。

この点が直線 $3x - 2y - 5 = 0$ 上にあるので、

$3(\frac{x+4}{2}) - 2(\frac{y-3}{2}) - 5 = 0$

$3(x+4) - 2(y-3) - 10 = 0$

$3x + 12 - 2y + 6 - 10 = 0$

$3x - 2y + 8 = 0$

また、直線ABは直線lに垂直なので、直線ABの傾きは-2/3です。

$\frac{y-(-3)}{x-4} = \frac{y+3}{x-4} = -\frac{2}{3}$

$3(y+3) = -2(x-4)$

$3y + 9 = -2x + 8$

$2x + 3y + 1 = 0$

$2x = -3y - 1$

$x = \frac{-3y-1}{2}$

これを $3x - 2y + 8 = 0$ に代入すると

$3(\frac{-3y-1}{2}) - 2y + 8 = 0$

$-9y - 3 - 4y + 16 = 0$

$-13y + 13 = 0$

$13y = 13$

$y = 1$

$x = \frac{-3(1)-1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

よって、点Bの座標は(-2, 1)です。

(3) 点A(4, -3)を中心とする円の方程式は $(x-4)^2 + (y+3)^2 = r^2$ です。円は直線 $3x - 2y - 5 = 0$ に接するので、点Aと直線の距離が円の半径 $r$ に等しくなります。

$r = \frac{|3(4) - 2(-3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|12 + 6 - 5|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$

したがって、 $r^2 = 13$ です。

$(x-4)^2 + (y+3)^2 = 13$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 + 6y + 9 = 13$

$x^2 + y^2 - 8x + 6y + 16 + 9 - 13 = 0$

$x^2 + y^2 - 8x + 6y + 12 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $m: 2x + 3y + 1 = 0$

(2) B: (-2, 1)

(3) $C: x^2 + y^2 - 8x + 6y + 12 = 0$