三角形の2辺の長さ $b=2\sqrt{2}$、 $c=2$ と、その間の角 $A=135^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $a$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の2辺の長さ $b=2\sqrt{2}$、 $c=2$ と、その間の角 $A=135^\circ$ が与えられているとき、残りの辺の長さ $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $a^2$ を計算します。

余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

与えられた値を代入します。

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2)\cos{135^\circ}$

$\cos{135^\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$a^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2(2\sqrt{2})(2)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$a^2 = 8 + 4 + 8 = 20$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a = 2\sqrt{5}$