三角形ABCにおいて、点Gは重心、点Dは直線AGと辺BCの交点である。AGの長さが5であるとき、線分AGの長さと、面積の比 $\triangle GDC : \triangle ABC$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心、点Dは直線AGと辺BCの交点である。AGの長さが5であるとき、線分AGの長さと、面積の比 $\triangle GDC : \triangle ABC$ を求めよ。

2. 解き方の手順

重心の性質を利用する。

* 重心Gは中線ADを $2:1$ に内分する。つまり、$AG:GD = 2:1$ である。$AG = 5$ なので、$GD = \frac{1}{2} AG = \frac{5}{2}$ である。したがって、AGの長さは5である。

* 中線ADは三角形ABCの面積を二等分する。つまり、$\triangle ABD = \triangle ACD = \frac{1}{2} \triangle ABC$ である。

* 重心Gは中線AD上にあり、$AG:GD = 2:1$ であるから、 $\triangle GBD : \triangle ABD = GD:AD = 1:3$ が成り立つ。同様に、$\triangle GDC : \triangle ADC = GD:AD = 1:3$ が成り立つ。

* $\triangle GDC = \frac{1}{3} \triangle ADC = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \triangle ABC = \frac{1}{6} \triangle ABC$ である。

* よって、$\triangle GDC : \triangle ABC = \frac{1}{6} \triangle ABC : \triangle ABC = 1:6$ である。

3. 最終的な答え

線分AGの長さは5である。

面積の比 $\triangle GDC : \triangle ABC = 1:6$ である。