台形ABCDにおいて、ADとBCが平行で、AD:BC = 2:3である。三角形AODの面積が20 cm^2のとき、三角形COB, 三角形COD, および台形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、ADとBCが平行で、AD:BC = 2:3である。三角形AODの面積が20 cm^2のとき、三角形COB, 三角形COD, および台形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形COBの面積を求める。

三角形AODと三角形COBは相似である。なぜなら、AD//BCより、角DAO = 角BCO、角ADO = 角CBOとなるからである。

相似比は AD:BC = 2:3 であるから、面積比は相似比の2乗となる。

よって、三角形AOD : 三角形COB = 2^2 : 3^2 = 4:9 である。

三角形AOD = 20 cm^2なので、

$20 : 三角形COB = 4:9$

$三角形COB = 20 \times \frac{9}{4} = 45$ cm^2

(2) 三角形CODの面積を求める。

三角形AODと三角形CODの面積比を考える。

これらの三角形は、底辺をODとして共有していると考えると、高さの比は、Aから直線ODまでの距離とCから直線ODまでの距離の比に等しくなる。

また、三角形AODと三角形AOBの面積比を考えると、これらの三角形は、底辺をAOとして共有していると考えると、高さの比は、Dから直線AOまでの距離とBから直線AOまでの距離の比に等しくなる。

AD//BCより、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積は等しい。

三角形ABDの面積 = 三角形AOD + 三角形AOB

三角形ACDの面積 = 三角形AOD + 三角形COD

よって、三角形AOB = 三角形COD

また、三角形AODと三角形AOBの面積比は、底辺の比に等しいので、OD/OB = AD/BC = 2/

3. したがって、三角形AOD : 三角形AOB = AD : BC = 2:3となる。

ゆえに、三角形AOB = 三角形COD = $20 \times \frac{3}{2} = 30$ cm^

2.

(3) 台形ABCDの面積を求める。

台形ABCDの面積 = 三角形AOD + 三角形COB + 三角形AOB + 三角形COD

= 20 + 45 + 30 + 30

= 125 cm^2

3. 最終的な答え

(1) 三角形COB = 45 cm^2

(2) 三角形COD = 30 cm^2

(3) 台形ABCD = 125 cm^2