三角形ABCにおいて、点Gが重心であり、点Dが直線AGと辺BCの交点である。AGの長さが6のとき、GDの長さを求め、さらに三角形GBDと三角形ABCの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gが重心であり、点Dが直線AGと辺BCの交点である。AGの長さが6のとき、GDの長さを求め、さらに三角形GBDと三角形ABCの面積比を求める。

2. 解き方の手順

重心の性質を利用する。

* 重心は中線を $2:1$ に内分する。つまり、$AG:GD = 2:1$。

* 中線は三角形を二等分する。つまり、$BD = DC$。

* $\triangle ABD = \triangle ADC = \frac{1}{2}\triangle ABC$

* 重心Gを含む三角形の面積比に関する知識を使う。

まず、$GD$の長さを求める。

$AG:GD = 2:1$ であり、$AG = 6$ であるから、

$6:GD = 2:1$

$2 \cdot GD = 6$

$GD = 3$

次に、面積比 $\triangle GBD : \triangle ABC$ を求める。

三角形ABDについて、GDは中線ではないため、三角形を二等分しない。

しかし、$BD = DC$ であるため、$\triangle ABD = \frac{1}{2}\triangle ABC$である。

また、重心Gは中線ADを $2:1$ に内分するので、$\triangle GBD = \frac{1}{3} \triangle ABD$ である。

したがって、$\triangle GBD = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\triangle ABC = \frac{1}{6}\triangle ABC$

面積比 $\triangle GBD : \triangle ABC = \frac{1}{6} : 1 = 1:6$

3. 最終的な答え

線分GDの長さ: 3

面積比 $\triangle GBD : \triangle ABC = 1:6$