三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点である。AG = 8であるとき、線分GDの長さを求め、さらに三角形GDCと三角形ABCの面積比を求める問題である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、Dは直線AGと辺BCの交点である。AG = 8であるとき、線分GDの長さを求め、さらに三角形GDCと三角形ABCの面積比を求める問題である。

2. 解き方の手順

重心の性質を利用する。

* 重心は中線を2:1に内分する。

* 三角形の中線は、三角形の面積を二等分する。

まず、重心Gは中線ADを2:1に内分するため、AG:GD = 2:1となる。AG = 8なので、GDを求めることができる。

次に、面積比を求める。

DはBCの中点であるから、三角形ABDと三角形ACDの面積は等しく、三角形ABCの面積の半分である。

$\triangle ABD = \triangle ACD = \frac{1}{2} \triangle ABC$

また、三角形GBCの面積は三角形ABCの面積の1/3である。

$\triangle GBC = \frac{1}{3} \triangle ABC$

DはBCの中点であるから、三角形GDBと三角形GDCの面積は等しく、三角形GBCの面積の半分である。

$\triangle GDB = \triangle GDC = \frac{1}{2} \triangle GBC$

したがって、$\triangle GDC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \triangle ABC = \frac{1}{6} \triangle ABC$

よって、面積比 $\triangle GDC : \triangle ABC$は1:6となる。

3. 最終的な答え

GDの長さは4。

面積比 $\triangle GDC : \triangle ABC$は1:6。