三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、Dは線分AGと辺BCの交点である。線分AGの長さが6であるとき、線分GDの長さを求め、さらに三角形GBDと三角形ABCの面積比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Gは重心であり、Dは線分AGと辺BCの交点である。線分AGの長さが6であるとき、線分GDの長さを求め、さらに三角形GBDと三角形ABCの面積比を求める。

2. 解き方の手順

重心の性質として、重心は中線を2:1に内分することが知られています。つまり、AG:GD = 2:1が成り立ちます。AG = 6であることから、GDの長さを計算できます。

$AG:GD = 2:1$

$AG = 6$

$6 : GD = 2 : 1$

$2 \times GD = 6$

$GD = 3$

次に、面積比を求めます。

DはBCの中点なので、BD = DC です。三角形ABDと三角形ADCの面積は等しいです。したがって、三角形ABCの面積は、三角形ABDの面積の2倍です。

$\triangle ABC = 2 \times \triangle ABD$

重心Gは中線を2:1に内分するので、三角形GBDの面積は、三角形ABDの面積の1/3です。

$\triangle GBD = \frac{1}{3} \times \triangle ABD$

したがって、面積比は

$\frac{\triangle GBD}{\triangle ABC} = \frac{\frac{1}{3} \times \triangle ABD}{2 \times \triangle ABD} = \frac{\frac{1}{3}}{2} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

GDの長さは3であり、面積比 $\triangle GBD : \triangle ABC$ は 1:6 です。