三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺BC, CAの中点であり、線分EFは線分ADと平行である。点Gは線分ADと線分BEの交点である。このとき、GD:EFを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺BC, CAの中点であり、線分EFは線分ADと平行である。点Gは線分ADと線分BEの交点である。このとき、GD:EFを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点E,Fがそれぞれ辺CA, BCの中点であることから、中点連結定理により$AB = 2EF$が成り立つ。また、$EF \parallel AB$となる。

次に、$EF \parallel AD$なので、四角形AEFDは台形である。

点Gは$\triangle ABC$の重心なので、線分ADは中線であり、点Gは線分ADを2:1に内分する。すなわち、$AG:GD = 2:1$となる。したがって、$GD = \frac{1}{3}AD$である。

ここで、$\triangle ECF$と$\triangle ABD$を考える。$EF \parallel AD$より、$\triangle ECF \sim \triangle ABD$が成立する。また、EFの長さはABの半分なので、相似比は$1:2$である。よって、$AD = 2EF$となる。

したがって、$GD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}(2EF) = \frac{2}{3}EF$である。

したがって、$GD:EF = \frac{2}{3}EF:EF = 2:3$となる。

3. 最終的な答え

GD : EF = 2 : 3