三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, BCの中点であり、DC//FEである。また、Gは線分AEと線分CDの交点である。このとき、AD:DFを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, BCの中点であり、DC//FEである。また、Gは線分AEと線分CDの交点である。このとき、AD:DFを求める。

2. 解き方の手順

まず、D, EがそれぞれAB, BCの中点であることから、中点連結定理により$AC=2DE$である。また、$DC//FE$であることから、$\triangle FBE \sim \triangle BCD$となる。

DがABの中点であることから、$AD=DB$である。求めるものは$AD:DF$なので、これを$DB:DF$として考えてみる。

$\triangle FBE \sim \triangle BCD$より、$BF:BD = BE:BC = FE:DC$が成り立つ。EはBCの中点であることから、$BE:BC = 1:2$となる。したがって、$BF:BD = 1:2$となり、$BD=2BF$である。

$DF = BD-BF$であるから、$DF = 2BF-BF = BF$となる。

よって、$DB = 2BF = 2DF$なので、$DB:DF = 2:1$。

したがって、$AD:DF=DB:DF = 2:1$。

3. 最終的な答え

AD:DF = 2:1