三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, ACの中点であり、DFとBEは平行である。GはBEとCDの交点である。このとき、DF:GEを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, ACの中点であり、DFとBEは平行である。GはBEとCDの交点である。このとき、DF:GEを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、D, EがそれぞれAB, ACの中点であることから、中点連結定理より、DE // BCであり、DE = $\frac{1}{2}$BCである。

また、DF // BEである。

次に、$\triangle ADF$と$\triangle ABE$について考える。

$\angle DAF = \angle BAE$（共通の角）

$\angle ADF = \angle ABE$ (DF // BEより、同位角)

よって、$\triangle ADF \sim \triangle ABE$である。

相似比はAD:AB = 1:2であるから、

AF:AE = 1:2

したがって、AF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{4}$AC

ここで、メネラウスの定理を$\triangle BCE$と直線CDに適用すると、

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CG}{GE} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\frac{1}{4}AC}{AC - \frac{1}{4}AC} \cdot \frac{CG}{GB} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{\frac{1}{4}AC}{\frac{3}{4}AC} \cdot \frac{CG}{GE} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{CG}{GE} = 1$

$\frac{CG}{GE} = 3$

次に、$\triangle CGE$において、$DF // GE$より、$\triangle CDF \sim \triangle CBE$である。

よって、$\frac{DF}{BE} = \frac{CF}{CE} = \frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{2}AC} = \frac{3}{2}$

したがって、$DF = \frac{3}{2}BE$

$BE = BG+GE$

メネラウスの定理を$\triangle ACD$と直線BEに適用すると、

$\frac{AE}{EC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DB}{BA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{CG}{GD} = 2$

$CG=2GD$

$G$は$\triangle ABC$の中線CD上の点であり、$\frac{CG}{GE}$を考えたい。

CDは中線なので重心。中線の交点なので、BG:GE = 2:1, つまり、GE=$\frac{1}{3}$BE。

DF = $\frac{3}{2}$AE = $\frac{3}{2}$($BG + GE$) = $\frac{3}{2}$($2GE+GE$) = $\frac{3}{2}$(3GE) = $\frac{9}{2}GE$

したがって、DF:GE = $\frac{9}{2}:1$ = $9:2$

3. 最終的な答え

DF:GE = 9:2