三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺BC, CAの中点であり、AD//EFである。GはADと辺BEの交点である。このとき、GD:EFを求めよ。
2025/7/13
1. 問題の内容
三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺BC, CAの中点であり、AD//EFである。GはADと辺BEの交点である。このとき、GD:EFを求めよ。
2. 解き方の手順
まず、点Dが辺BCの中点なので、ADは中線です。同様に、点Eが辺CAの中点なので、BEも中線です。したがって、点Gは三角形ABCの重心となります。
重心の性質より、重心は中線を2:1に内分するので、AG:GD = 2:1となります。よって、GD = (1/3)ADです。
次に、AD // EFという条件を使います。三角形ADCにおいて、EF // ADであり、EはACの中点なので、中点連結定理より、FはDCの中点であることがわかります。
したがって、CF = FD = (1/2)DC = (1/4)BCとなります。
また、EF = (1/2)ADとなります。
したがって、GD:EF = (1/3)AD:(1/2)AD = (1/3):(1/2) = 2:3となります。
3. 最終的な答え
GD:EF = 2:3