三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, BCの中点であり、DC // FEである。また、GはAEと辺CDの交点である。このとき、DG: FEを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点D, Eはそれぞれ辺AB, BCの中点であり、DC // FEである。また、GはAEと辺CDの交点である。このとき、DG: FEを求める。

2. 解き方の手順

まず、FEがDCと平行であることから、三角形BFEと三角形BDCは相似である。

DはABの中点、EはBCの中点なので、中点連結定理より、

$DE = \frac{1}{2}AC$

$DE // AC$

また、$FE // DC$なので、三角形AFEと三角形ADCも相似である。

EはBCの中点なので、$BE = EC = \frac{1}{2}BC$。

DはABの中点なので、$AD = DB = \frac{1}{2}AB$。

$FE // DC$より、三角形BFEと三角形BDCは相似であり、その相似比は$BE:BC = 1:2$なので、

$FE = \frac{1}{2}DC$

次に、三角形ADGと三角形FEGについて考える。$FE // DC$より、錯角が等しいので、

$\angle DAG = \angle GEF$

$\angle ADG = \angle EFG$

よって、三角形ADGと三角形FEGは相似である。

その相似比は$AD:FE$である。

$AD = \frac{1}{2}AB$

$FE = \frac{1}{2}DC$なので、相似比は$\frac{1}{2}AB:\frac{1}{2}DC = AB:DC$

$AD:FE = DG:GE$なので、$DG:GE = AB:DC$

ここで、点D, Eはそれぞれ辺AB, BCの中点なので、中点連結定理より、$DE = \frac{1}{2}AC$。

また、$FE // DC$だったので、三角形AFEと三角形ADCも相似である。

このとき、三角形AFEと三角形ADCの相似比は$AE:AC$となる。

$FE // DC$より、$DG:GE = DC:FE = 2:1$ である。

よって、$DG = 2GE$

$FE = \frac{1}{2}DC$ なので、$DG : FE = DC:GE$

$DG = \frac{2}{3}DE = 2GE$

$DG : FE = 2 : 1$

3. 最終的な答え

DG : FE = 2 : 1