座標平面上の3点 $A(1, 0)$, $B(14, 0)$, $C(5, 3)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $\triangle ABC$ の重心の座標を求める。 (2) $\triangle ABC$ の外心の座標を求める。 (3) $\triangle ABC$ の内心の座標を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $A(1, 0)$, $B(14, 0)$, $C(5, 3)$ を頂点とする $\triangle ABC$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $\triangle ABC$ の重心の座標を求める。

(2) $\triangle ABC$ の外心の座標を求める。

(3) $\triangle ABC$ の内心の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 重心

重心の座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求められます。

$x$座標: $\frac{1+14+5}{3} = \frac{20}{3}$

$y$座標: $\frac{0+0+3}{3} = 1$

(2) 外心

外心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点です。

$AB$の中点は $(\frac{1+14}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{15}{2}, 0)$ で、$AB$は$x$軸上にあるので、垂直二等分線は$x=\frac{15}{2}$となります。

$AC$の中点は $(\frac{1+5}{2}, \frac{0+3}{2}) = (3, \frac{3}{2})$

$AC$の傾きは $\frac{3-0}{5-1} = \frac{3}{4}$ なので、垂直な直線の傾きは $-\frac{4}{3}$

$AC$の垂直二等分線の方程式は $y - \frac{3}{2} = -\frac{4}{3}(x-3)$

$y = -\frac{4}{3}x + 4 + \frac{3}{2} = -\frac{4}{3}x + \frac{11}{2}$

外心の$x$座標は$\frac{15}{2}$なので、$y = -\frac{4}{3} \cdot \frac{15}{2} + \frac{11}{2} = -10 + \frac{11}{2} = -\frac{9}{2}$

(3) 内心

内心は、三角形の各内角の二等分線の交点です。

$AB = 14-1 = 13$

$AC = \sqrt{(5-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16+9} = 5$

$BC = \sqrt{(14-5)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{81+9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$

内心の座標は、各頂点の座標を対辺の長さの比で内分した点の座標の加重平均として求められます。

$x$座標: $\frac{3\sqrt{10} \cdot 1 + 5 \cdot 14 + 13 \cdot 5}{5 + 13 + 3\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10} + 70 + 65}{18 + 3\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10} + 135}{18 + 3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10} + 45}{6 + \sqrt{10}}$

$y$座標: $\frac{3\sqrt{10} \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 13 \cdot 3}{5 + 13 + 3\sqrt{10}} = \frac{39}{18 + 3\sqrt{10}} = \frac{13}{6 + \sqrt{10}}$

$x = \frac{(\sqrt{10}+45)(6-\sqrt{10})}{(6+\sqrt{10})(6-\sqrt{10})} = \frac{6\sqrt{10}-10+270-45\sqrt{10}}{36-10} = \frac{260-39\sqrt{10}}{26} = 10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}$

$y = \frac{13(6-\sqrt{10})}{(6+\sqrt{10})(6-\sqrt{10})} = \frac{13(6-\sqrt{10})}{26} = \frac{6-\sqrt{10}}{2} = 3 - \frac{1}{2}\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) 重心: $(\frac{20}{3}, 1)$

(2) 外心: $(\frac{15}{2}, -\frac{9}{2})$

(3) 内心: $(10 - \frac{3}{2}\sqrt{10}, 3 - \frac{1}{2}\sqrt{10})$