2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通り、点(3, -1)を通る円の方程式を求める。 (3) 点A(5, 1) から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点をP, Qとする。直線PQの方程式を求めよ。また、線分PQの長さを求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 25$ と $C_2: (x-4)^2 + (y-3)^2 = 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通り、点(3, -1)を通る円の方程式を求める。

(3) 点A(5, 1) から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点をP, Qとする。直線PQの方程式を求めよ。また、線分PQの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$C_1 - C_2 = 0$ で求められる。

$x^2 + y^2 - 25 - ((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 - 2) = 0$

$x^2 + y^2 - 25 - x^2 + 8x - 16 - y^2 + 6y - 9 + 2 = 0$

$8x + 6y - 48 = 0$

$6y = -8x + 48$

$y = -\frac{4}{3}x + 8$

(2) 2つの円の交点を通る円の方程式は、$C_1 + kC_2 = 0$ で求められる。（ただし、$k \neq -1$）

$x^2 + y^2 - 25 + k((x-4)^2 + (y-3)^2 - 2) = 0$

これが点(3, -1)を通るので、

$3^2 + (-1)^2 - 25 + k((3-4)^2 + (-1-3)^2 - 2) = 0$

$9 + 1 - 25 + k(1 + 16 - 2) = 0$

$-15 + 15k = 0$

$15k = 15$

$k = 1$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 25 + (x-4)^2 + (y-3)^2 - 2 = 0$

$x^2 + y^2 - 25 + x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 - 2 = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 8x - 6y - 2 = 0$

$x^2 + y^2 - 4x - 3y - 1 = 0$

$(x-2)^2 - 4 + (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 1 = 0$

$(x-2)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 = 4 + \frac{9}{4} + 1 = \frac{16+9+4}{4} = \frac{29}{4}$

(3) 円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点P$(x_1, y_1)$における接線の方程式は $x_1x + y_1y = 13$ である。

点A(5, 1)から引いた接線なので、$5x_1 + y_1 = 13$ が成り立つ。

したがって、$y_1 = 13 - 5x_1$

点P$(x_1, y_1)$は円上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = 13$ が成り立つ。

$x_1^2 + (13-5x_1)^2 = 13$

$x_1^2 + 169 - 130x_1 + 25x_1^2 = 13$

$26x_1^2 - 130x_1 + 156 = 0$

$x_1^2 - 5x_1 + 6 = 0$

$(x_1 - 2)(x_1 - 3) = 0$

$x_1 = 2, 3$

$x_1 = 2$ のとき $y_1 = 13 - 5(2) = 3$

$x_1 = 3$ のとき $y_1 = 13 - 5(3) = -2$

2つの接点は P(2, 3), Q(3, -2)

直線PQの方程式は

$\frac{y - 3}{x - 2} = \frac{-2 - 3}{3 - 2} = -5$

$y - 3 = -5(x - 2)$

$y - 3 = -5x + 10$

$5x + y - 13 = 0$

線分PQの長さは $\sqrt{(3-2)^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{4}{3}x + 8$

(2) $(x-2)^2 + (y-\frac{3}{2})^2 = \frac{29}{4}$

(3) 直線PQの方程式: $5x + y - 13 = 0$、線分PQの長さ: $\sqrt{26}$